При каких значениях параметра s функция y=4x3−12x увеличивается на интервале [2s−6; 10s+10]?

Чтобы определить, при каких значениях параметра \( s \) функция \( y = 4x^3 - 12x \) будет увеличиваться на интервале \([2s-6; 10s+10]\), нужно проанализировать поведение функции на этом интервале.

1. Для начала, найдем производную функции \( y \):
\[ y" = \frac{d}{dx} (4x^3 - 12x) \]

2. Теперь возьмем производную функции и приравняем к нулю, чтобы найти критические точки:
\[ y" = 0 \]

3. Решим полученное уравнение:
\[ 12x^2 - 12 = 0 \]
\[ x^2 - 1 = 0 \]
\[ x^2 = 1 \]
\[ x = \pm 1 \]

4. Найденные критические точки \( x = -1 \) и \( x = 1 \) разбивают область на три интервала: \((-\infty,-1)\), \((-1,1)\), и \((1, +\infty)\).

5. Чтобы понять, как меняется функция на каждом из этих интервалов, можно выбрать произвольные значения из каждого интервала и подставить их в исходную функцию \( y = 4x^3 - 12x \).

a) Для интервала \((-\infty,-1)\): возьмем, например, \( x = -2 \)
Подставляя значение \( x \) в функцию, получаем:
\( y = 4(-2)^3 - 12(-2) = -40 \)
То есть, на этом интервале функция принимает отрицательные значения.

б) Для интервала \((-1,1)\): возьмем, например, \( x = 0 \)
Подставляя значение \( x \) в функцию, получаем:
\( y = 4(0)^3 - 12(0) = 0 \)
То есть, на этом интервале функция равна нулю.

в) Для интервала \((1,+\infty)\): возьмем, например, \( x = 2 \)
Подставляя значение \( x \) в функцию, получаем:
\( y = 4(2)^3 - 12(2) = 16 \)
То есть, на этом интервале функция принимает положительные значения.

6. Теперь, используя полученную информацию о поведении функции на каждом интервале, мы можем понять, при каких значениях параметра \( s \) функция будет увеличиваться на интервале \([2s-6; 10s+10]\).

Внутри интервала \((-1,1)\) функция равна нулю, поэтому она не увеличивается на этом интервале независимо от значения параметра \( s \).

На интервале \((-\infty,-1)\), функция принимает отрицательные значения, поэтому, чтобы функция увеличивалась на этом интервале, значение параметра \( s \) должно удовлетворять неравенству \( 2s - 6 < 0 \) и \( 10s + 10 > 0 \). Это эквивалентно неравенству \( s < 3 \) и \( s > -1 \).

На интервале \((1,+\infty)\), функция принимает положительные значения, поэтому, чтобы функция увеличивалась на этом интервале, значение параметра \( s \) должно удовлетворять неравенству \( 2s - 6 > 0 \) и \( 10s + 10 > 0 \). Это эквивалентно неравенству \( s > 3 \).

Итак, функция \( y = 4x^3 - 12x \) будет увеличиваться на интервале \([2s-6; 10s+10]\) при условии, что \( s < 3 \) или \( s > -1 \).