При каких значениях параметра а квадратное уравнение ax^2 + x - a - 2 = 0 не имеет решений?

Чтобы определить, при каких значениях параметра \(a\) квадратное уравнение \(ax^2 + x - a - 2 = 0\) не имеет решений, мы можем использовать дискриминант. Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) определяется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В данном уравнении, \(a = a\), \(b = 1\), и \(c = -a - 2\). Для того чтобы уравнение не имело решений (не имело корней), дискриминант должен быть отрицательным, то есть \(D < 0\).

Подставим значения \(a\), \(b\), и \(c\) в формулу дискриминанта и решим неравенство:

\[D = (1)^2 - 4(a)(-a - 2) < 0\]

Упростим неравенство:

\[1 - 4a(-a - 2) < 0\]
\[1 + 4a^2 + 8a < 0\]
\[4a^2 + 8a + 1 < 0\]

Теперь решим это квадратное неравенство. Для начала найдём вершину параболы, которая является точкой минимума. Координаты вершины можно найти по формулам \(x_v = -\frac{b}{2a}\) и \(y_v = -\frac{D}{4a}\). Подставим значения \(a = 4\), \(b = 8\) и \(c = 1\) в эти формулы:

\[x_v = -\frac{8}{2(4)} = -1\]
\[y_v = -\frac{1 - 32}{4(4)} = \frac{31}{16}\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((-1, \frac{31}{16})\).

Так как коэффициент при \(a^2\) положительный, дискриминантное неравенство описывает параболу, которая открывается вверх. Поскольку нам нужно, чтобы \(D < 0\), то неравенство будет выполняться, когда значения \(a\) окажутся за пределами интервала, где парабола находится ниже оси \(x\) (т.е. ниже значения \(y_v\)).

Значит, при значениях параметра \(a\) в интервале \((-\infty, -1) \cup (-1, \infty)\) квадратное уравнение \(ax^2 + x - a - 2 = 0\) не будет иметь решений.

Я надеюсь, что это объяснение помогло вам понять, как найти значения параметра \(a\) для которых данное квадратное уравнение не имеет решений. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задайте их!