Постройте график у = x^2 - 6x + 3 и найдите следующую информацию с помощью графика: а) корни функции; б) интервалы

Хорошо, давайте начнем с построения графика функции \(y = x^2 - 6x + 3\).

1. Чтобы построить график, мы начнем с нахождения корней функции. Для этого мы приравняем ее к нулю и решим уравнение:
\[x^2 - 6x + 3 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = 3\).

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24\]

Дискриминант \(D\) больше нуля, поэтому у уравнения есть два различных корня. Корни можно найти с помощью формулы:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2}\]

\[x = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2}\]

Дальше можем упростить выражение:

\[x_1 = 3 + \sqrt{6}\]
\[x_2 = 3 - \sqrt{6}\]

Таким образом, корни функции равны \(x_1 = 3 + \sqrt{6}\) и \(x_2 = 3 - \sqrt{6}\).

2. Чтобы найти интервалы, на которых значение \(y\) равно нулю и на которых оно отличается от нуля, мы можем рассмотреть знаки функции в разных интервалах.

Посмотрим на таблицу знаков функции \(y = x^2 - 6x + 3\):

\[
\begin{array}{c|ccc|c}
x & ( -\infty, 3 - \sqrt{6} ) & ( 3 - \sqrt{6}, 3 + \sqrt{6} ) & ( 3 + \sqrt{6}, +\infty ) \\
\hline
y & + & - & +
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что на интервалах \(( -\infty, 3 - \sqrt{6} )\) и \(( 3 + \sqrt{6}, +\infty )\) значение \(y\) отлично от нуля, а на интервале \(( 3 - \sqrt{6}, 3 + \sqrt{6} )\) значение \(y\) равно нулю.

3. Чтобы определить интервалы, на которых функция возрастает или убывает, мы можем рассмотреть знак производной функции. Производная функции \(y = x^2 - 6x + 3\) равна:
\[y" = 2x - 6\]

Если \(y" > 0\), то функция \(y\) возрастает, если \(y" < 0\), то функция \(y\) убывает.

Мы можем найти точку экстремума функции, приравняв производную к нулю и решив уравнение:
\[2x - 6 = 0\]
\[2x = 6\]
\[x = 3\]

Таким образом, функция имеет локальный минимум при \(x = 3\).

Теперь мы можем построить таблицу производных функции:

\[
\begin{array}{c|ccc}
x & ( -\infty, 3 ) & ( 3, +\infty ) \\
\hline
y" & - & +
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что функция \(y\) убывает на интервале \(( -\infty, 3 )\) и возрастает на интервале \(( 3, +\infty )\).

4. Минимальное значение функции можно найти, подставив значение \(x = 3\) в исходную функцию:
\[y_{\min} = (3)^2 - 6(3) + 3\]
\[y_{\min} = 9 - 18 + 3\]
\[y_{\min} = -6\]

Таким образом, минимальное значение функции равно \(y_{\min} = -6\).

Итак, информация, которую мы получили с помощью графика функции \(y = x^2 - 6x + 3\), включает:

а) Корни функции: \(x_1 = 3 + \sqrt{6}\) и \(x_2 = 3 - \sqrt{6}\).
б) Интервалы, на которых \(y\) равно 0 и на которых \(y\) отличается от 0: \(( 3 - \sqrt{6}, 3 + \sqrt{6} )\) и \(( -\infty, 3 - \sqrt{6} )\) \(\cup\) \(( 3 + \sqrt{6}, +\infty )\).
в) Интервалы, на которых функция возрастает или убывает: \(( -\infty, 3 )\) и \(( 3, +\infty )\).
г) Минимальное значение функции: \(y_{\min} = -6\).