Какова масса сегмента стержня в интервале от x1=1 до x2=2, если его линейная плотность описывается выражением

Хорошо, давайте посмотрим на задачу подробнее.

У нас есть стержень, и мы хотим найти массу сегмента этого стержня в заданном интервале от \(x_1 = 1\) до \(x_2 = 2\). Для решения этой задачи мы должны использовать линейную плотность стержня, которая описывается выражением \(p(x) = 4x^2 + 5x + 2\), где \(x\) - координата на стержне, а \(p(x)\) - линейная плотность.

Чтобы найти массу сегмента стержня, мы должны проинтегрировать линейную плотность по заданному интервалу. Формула для вычисления массы сегмента стержня выглядит следующим образом:

\[m = \int_{x_1}^{x_2} p(x) \, dx\]

Давайте выполним этот интеграл пошагово.

1. Выразим линейную плотность стержня через координату \(x\):
\[p(x) = 4x^2 + 5x + 2\]

2. Подставим выражение для линейной плотности в формулу массы сегмента стержня:
\[m = \int_{x_1}^{x_2} (4x^2 + 5x + 2) \, dx\]

3. Проинтегрируем каждый член по отдельности. Первый член \(4x^2\) - это квадратичная функция, мы можем использовать формулу для интегрирования квадратичных функций:
\[\int x^n \, dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C\]
где \(n\) - степень полинома, а \(C\) - постоянная.

4. Проинтегрируем каждый член:
\[\int 4x^2 \, dx = \frac{{4}}{{3}}x^3 + C_1\]
\[\int 5x \, dx = \frac{{5}}{{2}}x^2 + C_2\]
\[\int 2 \, dx = 2x + C_3\]

5. Используем найденные значения:
\[m = \left( \frac{{4}}{{3}}x^3 + C_1 \right) \bigg|_{x_1}^{x_2} + \left( \frac{{5}}{{2}}x^2 + C_2 \right) \bigg|_{x_1}^{x_2} + \left( 2x + C_3 \right) \bigg|_{x_1}^{x_2}\]
подставим значения верхнего и нижнего пределов интегрирования:
\[m = \left( \frac{{4}}{{3}}x^3 + C_1 \right) \bigg|_{1}^{2} + \left( \frac{{5}}{{2}}x^2 + C_2 \right) \bigg|_{1}^{2} + \left( 2x + C_3 \right) \bigg|_{1}^{2}\]

6. Теперь можем посчитать значения:
\[m = \left( \frac{{4}}{{3}} \cdot 2^3 + C_1 \right) - \left( \frac{{4}}{{3}} \cdot 1^3 + C_1 \right) + \left( \frac{{5}}{{2}} \cdot 2^2 + C_2 \right) - \left( \frac{{5}}{{2}} \cdot 1^2 + C_2 \right) + \left( 2 \cdot 2 + C_3 \right) - \left( 2 \cdot 1 + C_3 \right)\]

7. Упростим выражение:
\[m = \frac{{4}}{{3}} \cdot 7 + \frac{{5}}{{2}} \cdot 3 + 4 - 1 + 4 - 2\]
\[m = \frac{{28}}{{3}} + \frac{{15}}{{2}} + 2\]
\[m = \frac{{56}}{{6}} + \frac{{45}}{{6}} + \frac{{12}}{{6}}\]
\[m = \frac{{113}}{{6}}\]

Таким образом, масса сегмента стержня в интервале от \(x_1 = 1\) до \(x_2 = 2\) составляет \(\frac{{113}}{{6}}\) или приближенно 18.83.