Покажите, что когда середина высоты треугольника имеет одинаковое расстояние от концов стороны, к которой

Рассмотрим треугольник ABC, у которого H - точка пересечения высот, проведенных из вершин B и C (см. рисунок).

\[AB = AC = a \] # Сторона треугольника
\[BB^{\prime} = CC^{\prime} = h \] # Высоты, проведенные из вершин B и C
\[BH = CH = \frac{h}{2} \] # Перпендикулярные отрезки, опущенные из точек B и C на прямую AC

Теперь докажем, что треугольник ABC является равнобедренным.

Из построения известно, что точка H является серединой отрезка BC. Значит, отрезок BH равен отрезку CH:
\[BH = CH\]

Также мы знаем, что высоты BB" и CC" равны:
\[BB^{\prime} = CC^{\prime}\]

Рассмотрим прямоугольные треугольники BHB" и CHC". В них гипотенузами являются отрезки BB" и CC", а катетами - отрезки BH и CH. По теореме Пифагора, в этих треугольниках выполняются равенства:
\[BB^{\prime^2} = BH^2 + B^{\prime}H^2\]
\[CC^{\prime^2} = CH^2 + C^{\prime}H^2\]

Поскольку высоты BB" и CC" равны, то их квадраты также равны:
\[BB^{\prime^2} = CC^{\prime^2}\]

Следовательно, равны и суммы квадратов катетов:
\[BH^2 + B^{\prime}H^2 = CH^2 + C^{\prime}H^2\]

Подставим значения длин катетов и удвоенное значение CH в это равенство:
\[\left(\frac{h}{2}\right)^2 + B^{\prime}H^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + C^{\prime}H^2\]
\[\frac{{h^2}}{4} + B^{\prime}H^2 = \frac{{h^2}}{4} + C^{\prime}H^2\]

Теперь вычтем \(\frac{{h^2}}{4}\) из обеих частей равенства:
\[B^{\prime}H^2 = C^{\prime}H^2\]

Поскольку точка H является серединой отрезка BC, то она делит высоту BB" пополам, то есть \(B^{\prime}H = \frac{{h}}{2}\). Аналогично, \(C^{\prime}H = \frac{{h}}{2}\).

Подставим эти значения в уравнение:
\[\left(\frac{{h}}{2}\right)^2 = \left(\frac{{h}}{2}\right)^2\]
\[\frac{{h^2}}{4} = \frac{{h^2}}{4}\]

Таким образом, мы получили равенство между двумя одинаковыми значениями. Это означает, что условие "когда середина высоты треугольника имеет одинаковое расстояние от концов стороны, к которой она проведена" выполняется, и треугольник ABC является равнобедренным.

Таким образом, мы доказали, что если середина высоты треугольника имеет одинаковое расстояние от концов стороны, к которой она проведена, то треугольник является равнобедренным.