Какие цифры были на доске, если Коля стёр и заменил их буквами? Заменяя одинаковые цифры, он использовал одинаковые

Давайте начнем с уравнения \(в^3 - 1а = ек\) и \(в^5 + ав = 49\), где а, в и е - буквы, которые представляют значения цифр на доске.

Для нахождения значений этих букв, нам нужно решить систему уравнений:

\[
\begin{align*}
в^3 - 1а &= ек \quad \text{(уравнение 1)} \\
в^5 + ав &= 49 \quad \text{(уравнение 2)}
\end{align*}
\]

Для начала, посмотрим на уравнение 1. Заметим, что здесь нам дано выражение в третьей степени \(в^3\). Для решения этого уравнения нам нужно найти значение \(в\), которое удовлетворяет условию. Так как в уравнении есть только одна неизвестная переменная \(в\), мы можем решить его.

Обратите внимание, что в уравнении 1 у нас есть выражение \(1а\), представляющее произведение цифры на доске и буквы \(а\). Нас интересуют только цифры, значит и буква \(а\) не имеет значения в нашем решении.

Теперь перейдем ко второму уравнению. Нам нужно найти значения переменных \(а\), \(в\) и \(е\), которые удовлетворяют уравнению \(в^5 + ав = 49\). Здесь нам дано выражение в пятой степени \(в^5\), и мы должны найти сочетание значений переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Обратите внимание, что здесь у нас присутствуют и буква \(а\), и буква \(в\), и все они представляют разные значения, так как они использованы для разных цифр на доске.

Теперь давайте решим уравнение 1. Мы знаем, что в уравнении 1 есть буква \(а\), и она не имеет значения для нашего решения. Поэтому можем положить \(а = 0\) без потери общности и без ограничения общности.

Таким образом, уравнение 1 принимает вид:

\[в^3 - 10 = ек \quad \text{(уравнение 1 с заменой а = 0)}\]

Теперь рассмотрим уравнение 2. Здесь нам задано равенство \(в^5 + ав = 49\). Подставим значение \(а = 0\), полученное в предыдущем решении, в уравнение и упростим его:

\[в^5 + 0в = 49 \quad \Rightarrow \quad в^5 = 49 \quad \text{(уравнение 2 с заменой а = 0)}\]

Мы видим, что значение выражения \(в^5\) должно быть равно 49, чтобы уравнение было верным. Какая цифра в пятой степени дает 49? Это 2, так как \(2^5 = 32\). Значит значение переменной \(в\) равно 2.

Теперь мы можем решить уравнение 1:

\[2^3 - 10 = ек \quad \Rightarrow \quad 8 - 10 = ек \quad \Rightarrow \quad -2 = ек\]

Мы нашли значение выражения \(ек\), которое равно -2. Так как выражение \(ек\) представляет цифры на доске, мы имеем ответ: цифра на доске равна -2.

Итак, чтобы Маша смогла угадать цифры на доске, на доске была цифра -2.