Покажите, что для всех целых значений n выражение 3 * 8^2n+1 + 62 * 21^n делится нацело

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать индукцию, чтобы доказать, что выражение \(3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21^n\) делится нацело для всех целых значений \(n\).

Шаг 1: Базовый случай
Для начала, проверим, выполняется ли данное выражение для \(n = 0\). Подставим \(n = 0\) в выражение:

\(3 \cdot 8^{2 \cdot 0 + 1} + 62 \cdot 21^0\)

Упростим выражение:

\(3 \cdot 8^1 + 62 \cdot 1\)

\(24 + 62\)

\(86\)

Заметим, что \(86\) является целым числом, то есть это первоначальное утверждение выполняется при \(n = 0\).

Шаг 2: Предположение индукции
Пусть данное выражение выполняется для некоторого целого числа \(k\), то есть \(3 \cdot 8^{2k+1} + 62 \cdot 21^k\) делится нацело.

Шаг 3: Доказательство для \(n = k + 1\)
Теперь нам нужно доказать, что если данное утверждение выполняется при \(n = k\), то оно также выполняется при \(n = k + 1\). Подставим \(n = k + 1\) в выражение:

\(3 \cdot 8^{2 \cdot (k + 1) + 1} + 62 \cdot 21^{k + 1}\)

Упростим выражение, используя предположение индукции:

\(3 \cdot 8^{2k+3} + 62 \cdot 21^{k+1}\)

Теперь проведем алгебраические преобразования, чтобы выделить общий множитель из обоих слагаемых:

\(3 \cdot 8^{2k+1} \cdot 8^2 + 62 \cdot 21^k \cdot 21\)

Далее упростим каждое слагаемое:

\(3 \cdot (64 \cdot 8^{2k+1}) + 62 \cdot (21^k \cdot 21)\)

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

\(64 \cdot 8^{2k+1} = 8^2 \cdot 8^{2k+1} = 8^{2k+3}\)
и
\(21^k \cdot 21 = 21^{k+1}\)

Теперь вернемся к нашему выражению:

\(3 \cdot 8^{2k+3} + 62 \cdot 21^{k+1}\)

Мы видим, что оба слагаемых являются степенями чисел и выражение можно переписать следующим образом:

\(8^{2k+3} + 62 \cdot 21^{k+1}\)

Заметим, что первое слагаемое является кратным тройке, так как \(2k + 3\) является целым числом и \(8^3 = 512\) делится на \(3\) без остатка. Второе слагаемое является кратным двадцатиодной, так как \((k+1)\) является целым числом и \(21\) делится на \(21\) без остатка.

Таким образом, мы получили, что оба слагаемых являются кратными своим множителям без остатка.

Из всего этого следует, что \(3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21^n\) делится нацело для всех целых значений \(n\) при помощи метода математической индукции.

Это доказывает наше утверждение.