По теории тригонометрии: 1. Измените следующие выражения в произведение: 1) cos 50° + cos 20°; 2) sin 2α - sin 10α

1. Давайте пошагово решим первое задание.

а) Рассмотрим выражение \( \cos 50^\circ + \cos 20^\circ \).
Для начала, попробуем использовать формулу сложения косинусов:
\[ \cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \]

Применим эту формулу, преобразуя выражение:
\[ \cos 50^\circ + \cos 20^\circ = \cos (30^\circ + 20^\circ) + \cos 20^\circ \]
\[ = \cos 30^\circ \cos 20^\circ - \sin 30^\circ \sin 20^\circ + \cos 20^\circ \]

Косинус 30° и синус 30° известны:
\[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]

Используем эти значения:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ - \frac{1}{2} \sin 20^\circ + \cos 20^\circ \]

Объединим элементы, содержащие \(\cos 20^\circ\):
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ + \cos 20^\circ \]

Теперь можно выразить это как произведение:
\[ (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) \cos 20^\circ \]

Таким образом, выражение \(\cos 50^\circ + \cos 20^\circ\) можно преобразовать в \((\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) \cos 20^\circ\).

б) Продолжим со вторым выражением: \(\sin 2\alpha - \sin 10\alpha\).
Воспользуемся формулой разности синусов:
\[ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \]

Применим эту формулу:
\[ \sin 2\alpha - \sin 10\alpha = \sin (10\alpha - 8\alpha) \]
\[ = \sin 8\alpha \cos 2\alpha - \cos 8\alpha \sin 2\alpha \]

Мы можем использовать формулы двойного аргумента синуса и косинуса, чтобы преобразовать выражение:
\[ \sin 8\alpha \cos 2\alpha - \cos 8\alpha \sin 2\alpha = 2\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 2\alpha - (2\cos^2 4\alpha - 1) \sin 2\alpha \]

Объединим похожие элементы:
\[ (2\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 2\alpha - 2\cos^2 4\alpha \sin 2\alpha) + \sin 2\alpha \]

Теперь можно выразить это как произведение:
\[ (2\sin 4\alpha \cos 4\alpha - 2\cos^2 4\alpha) \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \]

Таким образом, выражение \(\sin 2\alpha - \sin 10\alpha\) можно преобразовать в \((2\sin 4\alpha \cos 4\alpha - 2\cos^2 4\alpha) \cos 2\alpha + \sin 2\alpha\).

2. Перейдем ко второму заданию: \(\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha}\).

Раскроем числитель и знаменатель с помощью формулы сложения синусов и косинусов:
\[ \sin 3\alpha = \sin (2\alpha + \alpha) = \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha \]
\[ \cos 3\alpha = \cos (2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha \]

Подставим эти значения в исходное выражение:
\[ \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \frac{\sin \alpha + \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha}{\cos \alpha + \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha} \]

Теперь сгруппируем синусы и косинусы, чтобы получить произведения:
\[ \frac{(1 + \cos \alpha) \sin \alpha + \sin 2\alpha \cos \alpha}{(1 + \cos \alpha) \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha} \]

Таким образом, выражение \(\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha}\) можно изменить в \(\frac{(1 + \cos \alpha) \sin \alpha + \sin 2\alpha \cos \alpha}{(1 + \cos \alpha) \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha}\).

В результате, первое выражение преобразуется в \((\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) \cos 20^\circ\), а второе выражение преобразуется в \(\frac{(1 + \cos \alpha) \sin \alpha + \sin 2\alpha \cos \alpha}{(1 + \cos \alpha) \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha}\).