При якому значенні n значення виразів n^2, 2n+3,3n+4 і n^2+n+7 будуть утворювати послідовні члени арифметичної

Для того чтобы найти при каком значении \(n\) выражения \(n^2\), \(2n+3\), \(3n+4\) и \(n^2+n+7\) будут последовательными членами арифметической прогрессии, мы можем использовать определение арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, где разница между каждыми двумя последовательными членами одинакова. Другими словами, разница между \(n\) и \(n+1\) членами должна быть одинаковой для всех выражений.

Давайте рассмотрим каждое выражение по очереди:

1. Выражение \(n^2\)
2. Выражение \(2n+3\)
3. Выражение \(3n+4\)
4. Выражение \(n^2+n+7\)

Для того чтобы выражение \(n^2\) было членом арифметической прогрессии, мы должны обнаружить, какое значение разности \(d\) будет. Для этого мы вычислим значение выражения для общим \(n\) и найденных членов прогрессии.

\[n^2 + d = (n+1)^2\]

Раскрывая скобки в выражении \((n+1)^2\), получим

\[n^2 + d = n^2 + 2n + 1\]

Отбрасывая \(n^2\) с обеих сторон уравнения, получим

\[d = 2n + 1\]

Таким образом, разность между двумя последовательными членами прогрессии для выражения \(n^2\) равна \(2n + 1\).

Теперь, для выражения \(2n+3\):

\[2n + 3 + d = (2n+4)\]

Выражая весь \(n\):

\[2n + 3 + d = 2(n + 1) + 1\]

Раскрывая скобки и сокращая, получим

\[2n + 3 + d = 2n + 3\]

Отбрасывая \(2n + 3\) с обеих сторон уравнения, получим

\[d = 0\]

Таким образом, разность между двумя последовательными членами прогрессии для выражения \(2n+3\) равна 0.

Далее, для выражения \(3n+4\):

\[3n + 4 + d = (3n + 7)\]

Выражая весь \(n\):

\[3n + 4 + d = 3(n + 1)\]

Раскрывая скобки и сокращая, получим

\[3n + 4 + d = 3n + 3\]

Отбрасывая \(3n + 4\) с обеих сторон уравнения, получим

\[d = -1\]

Таким образом, разность между двумя последовательными членами прогрессии для выражения \(3n+4\) равна -1.

И, наконец, для выражения \(n^2+n+7\):

\[n^2 + n + 7 + d = (n+1)^2 + (n+1) + 7\]

Раскрывая скобки в выражении \((n+1)^2 + (n+1) + 7\), получим

\[n^2 + n + 7 + d = n^2 + 2n + 1 + n + 1 + 7\]

Отбрасывая \(n^2\) и упрощая уравнение, получим

\[d = 2n + 9\]

Таким образом, разность между двумя последовательными членами прогрессии для выражения \(n^2+n+7\) равна \(2n + 9\).

Теперь, чтобы найти значение \(n\), при котором все эти разности будут равными, мы можем сравнить их между собой:

\[2n + 1 = 0 = -1 = 2n + 9\]

Выберем самую простую разность \(0\) и продолжим расчет этой прогрессии.

\[2n + 1 = 0\]

Отбрасывая \(1\) с обеих сторон уравнения, получим

\[2n = -1\]

Деля обе части уравнения на \(2\), получим

\[n = -\frac{1}{2}\]

Таким образом, значение \(n\), при котором выражения \(n^2\), \(2n+3\), \(3n+4\) и \(n^2+n+7\) будут последовательностями арифметической прогрессии, равно \(-\frac{1}{2}\).

Теперь найдем последовательные члены этой прогрессии, используя найденное значение \(n\):

Подставим \(n = -\frac{1}{2}\) в каждое из выражений:

1. \(n^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)
2. \(2n+3 = 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = 2 - 1 + 3 = 4\)
3. \(3n+4 = 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 4 = -\frac{3}{2} + 4 = \frac{5}{2}\)
4. \(n^2+n+7 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 -\frac{1}{2} + 7 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{28}{4} = \frac{27}{4}\)

Таким образом, последовательные члены арифметической прогрессии для данного значения \(n\) равны \(\frac{1}{4}\), \(4\), \(\frac{5}{2}\) и \(\frac{27}{4}\).