Перепишите следующие вопросы, сохраняя их смысл и объем: 1. Найти значения характеристических (стационарных) точек

Конечно! Давайте поищем ответы на ваши вопросы и я попытаюсь предоставить вам максимально подробные и обстоятельные решения.

1. Найдем значения характеристических (стационарных) точек функции \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 72x - 213\). Чтобы найти стационарные точки, необходимо приравнять производную функции к нулю и решить полученное уравнение:

\[
f"(x) = 6x^2 + 6x - 72 = 0
\]

Далее, решим это уравнение:

\[
6x^2 + 6x - 72 = 0
\]

Факторизуем это уравнение:

\[
6(x^2 + x - 12) = 0
\]

\[
(x + 4)(x - 3) = 0
\]

Получаем два возможных значения для \(x\): \(x = -4\) и \(x = 3\). Таким образом, характеристические точки функции равны -4 и 3.

2. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \(y = x^3 - 9x^2 + 24x - 15\) на интервале [1;3], необходимо вычислить значения функции на концах интервала и в критических точках, которые находятся внутри интервала. Вычислим значения функции в точках \(x = 1\), \(x = 3\) и \(x = -4\) (критическая точка из предыдущего решения):

Для \(x = 1\):

\[
y = 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 24 \cdot 1 - 15 = 1 - 9 + 24 - 15 = 1
\]

Для \(x = 3\):

\[
y = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 - 15 = 27 - 81 + 72 - 15 = 3
\]

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции \(y = x^3 - 9x^2 + 24x - 15\) на интервале [1;3] равны соответственно 3 и 1.

3. Чтобы составить уравнение касательной к графику функции \(f(x) = 3x^2 - 4x - 2\) в точке графика с абсциссой \(x_0 = -1\), необходимо найти производную функции и подставить значение \(x = -1\).

Найдем производную функции \(f(x)\):

\[
f"(x) = 6x - 4
\]

Подставим \(x = -1\):

\[
f"(-1) = 6(-1) - 4 = -6 - 4 = -10
\]

Таким образом, угловой коэффициент касательной линии равен -10. Теперь найдем значение функции в точке \(x = -1\):

\[
f(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) - 2 = 3 + 4 - 2 = 5
\]

Таким образом, точка графика с абсциссой \(x_0 = -1\) имеет координаты \((-1, 5)\). Составим уравнение касательной линии, используя найденный угловой коэффициент и координаты точки:

\[
y - 5 = -10(x + 1)
\]

или

\[
y = -10x - 5
\]

4. Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(f(x) = 2x^2 + x\) и прямыми \(x = 0\) и \(x = 1\), необходимо вычислить определенный интеграл:

\[
S = \int_0^1 f(x) \, dx
\]

Вычислим интеграл:

\[
S = \int_0^1 (2x^2 + x) \, dx
\]

\[
S = \left[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1
\]

\[
S = \left( \frac{2}{3} \cdot 1^3 + \frac{1}{2} \cdot 1^2 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 0^3 + \frac{1}{2} \cdot 0^2 \right)
\]

\[
S = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 0 = \frac{5}{6}
\]

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна \(\frac{5}{6}\).

5. Чтобы найти значение первообразной функции \(f(x) = 4x^3 + 2x\) при \(x = 1\), необходимо проинтегрировать данную функцию и подставить значение \(x = 1\):

\[
F(x) = \int (4x^3 + 2x) \, dx
\]

\[
F(x) = \frac{4}{4} \cdot \frac{1}{4}x^4 + 2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C = x^4 + x^2 + C
\]

Подставим \(x = 1\):

\[
F(1) = 1^4 + 1^2 + C = 1 + 1 + C = 2 + C
\]

Таким образом, значение первообразной функции \(f(x) = 4x^3 + 2x\) при \(x = 1\) равно \(2 + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.