Какое из следующих равенств верно: 1) sin5x−sinx=2sin3x⋅cos7x 2) sin5x+sinx=−2sin4x⋅cos2x 3) sin6x+sin2x=2sin4x⋅cos2x

Давайте решим данную задачу. Мы должны определить, какое из предложенных равенств верно.

1) sin5x−sinx=2sin3x⋅cos7x
2) sin5x+sinx=−2sin4x⋅cos2x
3) sin6x+sin2x=2sin4x⋅cos2x
4) sin6x+sinx=2sin3x⋅cos2x

Для начала, давайте рассмотрим формулу синуса двойного угла:
\[sin(2x) = 2sin(x)cos(x)\]

Мы можем использовать эту формулу, чтобы сократить значения.

Применяя формулу к равенству 1):
\[sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)\]
После этого, мы можем заменить \(sin(2x)\) на \[2sin(x)cos(x)\]:
\[sin(4x) = 2(2sin(x)cos(x))cos(2x)\]
\[sin(4x) = 4sin(x)cos(x)cos(2x)\]

Теперь, давайте рассмотрим равенство 3):

\[sin(6x) = sin(4x + 2x)\]

Применяем формулу синуса суммы углов:
\[sin(6x) = sin(4x)cos(2x) + cos(4x)sin(2x)\]

Мы уже знаем, что \(sin(4x) = 4sin(x)cos(x)cos(2x)\), поэтому мы можем заменить его в равенстве:
\[sin(6x) = (4sin(x)cos(x)cos(2x))cos(2x) + cos(4x)sin(2x)\]

Теперь, давайте рассмотрим равенство 4):

\[sin(6x) = 2sin(3x)cos(2x) + sin(x)\]

Если мы применим формулу синуса суммы углов:
\[sin(3x + 3x) = 2sin(3x)cos(3x)\]

Тогда мы можем заменить это значение в равенстве 4):
\[sin(4x)cos(2x)+sin(2x+2x) = 2sin(3x)cos(2x)+sin(x)\]

Используем формулу синуса суммы углов еще раз:
\[(2sin(x)cos(x))cos(2x)+2sin(x)cos(x)cos(2x)+sin(x) = 2sin(3x)cos(2x)+sin(x)\]

Таким образом, получаем:
\[2sin(x)cos(x)cos(2x) + 2sin(x)cos(x)cos(2x) + sin(x) = 2sin(3x)cos(2x) + sin(x)\]

Сокращаемся:
\[4sin(x)cos(x)cos(2x) + sin(x) = 2sin(3x)cos(2x) + sin(x)\]

Таким образом, мы видим, что предложенное равенство 3) и предложенное равенство 4) эквивалентны, так как они демонстрируют одно и то же выражение.

Ответ: Предложенные равенства 3) и 4) верны.