Перечислите все числа, которые может принимать НОД(21n−4,14n+3) для натурального значения

Для решения этой задачи, нам нужно найти все целочисленные значения Наибольшего Общего Делителя (НОД) для выражения \(21n - 4\) и \(14n + 3\), где \(n\) является натуральным числом.

Давайте рассмотрим формулу для вычисления НОД двух чисел \(a\) и \(b\) с использованием алгоритма Евклида:

Если \(a = bq + r\), где \(q\) это частное от деления \(a\) на \(b\), а \(r\) это остаток от этого деления, то НОД \(a\) и \(b\) также равен НОД \(b\) и \(r\). Это свойство называется алгоритмом Евклида.

Применяя формулу к нашей задаче, у нас есть:

\(a = 21n - 4\)
\(b = 14n + 3\)

Мы должны найти все значения \(n\), при которых НОД этих двух выражений будет целым числом.

Выполним деление \(21n - 4\) на \(14n + 3\):

\[
(21n - 4) = (14n + 3) \cdot 1 + (7n - 7)
\]

Теперь, мы можем заменить \(21n - 4\) на \((14n + 3) \cdot 1 + (7n - 7)\):

\[
(7n - 7) = (21n - 4) - (14n + 3) \cdot 1
\]

Таким образом, мы выразили \(7n - 7\) через \(21n - 4\) и \(14n + 3\). На данный момент у нас есть:

\((21n - 4) = (14n + 3) \cdot 1 + (7n - 7)\)

Теперь, мы можем продолжать деление дальше. Выполним деление \((14n + 3)\) на \((7n - 7)\):

\[
(14n + 3) = (7n - 7) \cdot 2 + 17
\]

Подставим это обратно в наше выражение:

\[
(7n - 7) = (21n - 4) - (14n + 3) \cdot 1
\]

Заменим \(14n + 3\) на \((7n - 7) \cdot 2 + 17\):

\[
(7n - 7) = (21n - 4) - ((7n - 7) \cdot 2 + 17) \cdot 1
\]

Распределим умножение:

\[
(7n - 7) = (21n - 4) - (14n - 14 + 17) \cdot 1
\]

\[
(7n - 7) = (21n - 4) - (14n + 3) \cdot 2 - 17
\]

Заменим \((14n + 3)\) на \((7n - 7) \cdot 2 + 17\):

\[
(7n - 7) = (21n - 4) - ((7n - 7) \cdot 2 + 17) \cdot 2 - 17
\]

Распределим умножение:

\[
(7n - 7) = (21n - 4) - (14n - 14 + 17) \cdot 2 - 17
\]

\[
(7n - 7) = (21n - 4) - (14n + 3) \cdot 2 - 17
\]

\[
(7n - 7) = (21n - 4) - 2 \cdot (14n + 3) - 17
\]

Теперь, мы получили выражение \((7n - 7)\) только через константы. Упростим его:

\[
(7n - 7) = (21n - 4) - 2 \cdot (14n + 3) - 17
\]

\[
(7n - 7) = (21n - 4) - (28n + 6) - 17
\]

\[
(7n - 7) = (21n - 4) - 28n - 6 - 17
\]

\[
(7n - 7) = (21n - 4) - 28n - 23
\]

\[
7n - 7 = -7n - 27
\]

Теперь, решим это уравнение:

Соберем все члены с \(n\) на одной стороне:

\[
7n + 7n = -27 + 7
\]

\[
14n = -20
\]

Разделим обе стороны на 14:

\[
n = -\frac{20}{14}
\]

\[
n = -\frac{10}{7}
\]

Таким образом, мы получили, что \(n\) должно быть равно \(-\frac{10}{7}\), чтобы НОД \(21n - 4\) и \(14n + 3\) имело целое значение.

Однако, в нашей задаче требуется найти только натуральные значения \(n\). Так как \(\frac{10}{7}\) является отрицательной дробью, нет натуральных значений \(n\), которые удовлетворяют условию задачи.

Таким образом, в данной задаче нет натуральных значений, при которых НОД \(21n - 4\) и \(14n + 3\) будет целым числом.