Каким образом можно разложить на множители выражение x(x+2)²(x+4)-21? И каким образом можно его решить?

Хорошо, давайте разберем эту задачу подробно.

Мы должны разложить на множители выражение

\[x(x+2)^2(x+4)-21\]

Давайте начнем с раскрытия скобок.

Сначала у нас есть \(x\) перед скобкой \((x+2)^2\). Чтобы раскрыть эту скобку, мы умножаем каждый член внутри скобки на \(x\). Это даст нам \(x^3 + 4x^2 + 4x\).

Теперь у нас есть \(x(x^3 + 4x^2 + 4x)(x+4)-21\).

После этого, чтобы раскрыть скобку \((x+4)\), мы умножаем каждый член внутри скобки на \(x\) и получаем \(x^4 + 4x^3 + 4x^2\).

Теперь у нас есть исходное выражение

\[x(x+2)^2(x+4)-21 = x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 21\]

Теперь нам нужно найти множители этого выражения. Для этого мы можем применить метод разложения на множители или факторизации.

Начнем со второго слагаемого, \(4x^3\). Мы можем вынести общий множитель \(x\) и получить \(x(4x^2)\).

Теперь, в третьем слагаемом \(4x^2\), мы также можем вынести общий множитель \(4\) и получить \(4(x^2)\).

Теперь мы можем записать выражение в следующем виде:

\[x^4 + x(4x^2) + 4(x^2) - 21\]

Мы видим, что у нас есть общий множитель \(x^2\). Мы можем вынести его и получить:

\[x^2(x^2 + 4x + 4) - 21\]

Заметим, что скобка \((x^2 + 4x + 4)\) представляет собой квадратный трехчлен, который можно факторизовать в квадратный трехчлен \((x + 2)^2\).

Итак, наше выражение теперь можно переписать в виде:

\[x^2(x + 2)^2 - 21\]

Теперь мы можем разложить \(-21\) на множители. -21 можно записать как \((-3) \cdot 7\).

Теперь мы можем окончательно записать выражение:

\[x^2(x + 2)^2 - 21 = x^2(x + 2)^2 - 3 \cdot 7\]

Таким образом, выражение \(x(x+2)^2(x+4)-21\) разлагается на множители как \(x^2(x + 2)^2 - 3 \cdot 7\).

Основательным описанием шагов мы добились полного разложения данного выражения на множители, таким образом ответ будет понятен школьнику.