Паша выбрал 4 различных натуральных числа. Известно, что сумма обратных к этим числам равна 1. Можно ли утверждать

Да, конечно! Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Пусть выбранные числа Пашей обозначаются как \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\). Тогда мы имеем следующую информацию:

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 1\]

Мы должны показать, что среди выбранных чисел обязательно есть хотя бы одно число.

Предположим, что все выбранные числа больше или равны 2. Тогда мы можем записать следующее неравенство:

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2\]

Но это противоречит условию, так как сумма обратных должна быть равна 1. Значит, мы можем сделать вывод, что хотя бы одно из выбранных чисел должно быть меньше 2.

Теперь давайте рассмотрим два случая:

1. Предположим, что среди выбранных чисел есть число, равное 1. В этом случае, можно заметить, что сумма обратных чисел будет равна:

\[\frac{1}{1} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 1 + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}\]

Так как сумма обратных чисел равна 1, мы можем вычесть 1 из обеих сторон и получить:

\[\frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 0\]

Чтобы сумма трех обратных чисел была равна 0, каждое из этих чисел должно быть отрицательным. Но по условию задачи все числа выбраны из натуральных чисел, то есть они должны быть положительными. Таким образом, в этом случае нет числа, равного 1.

2. Предположим, что среди выбранных чисел нет числа, равного 1. В этом случае, мы можем установить ограничение на каждое из чисел:

\[a > 1, \quad b > 1, \quad c > 1, \quad d > 1\]

Тогда мы можем записать следующее неравенство:

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2\]

Это неравенство противоречит условию, так как сумма обратных чисел должна быть равна 1. Значит, в этом случае не существует такой комбинации выбранных чисел, при которой сумма обратных равнялась бы 1.

Итак, из анализа обоих случаев мы приходим к выводу, что из условия задачи нельзя утверждать, что среди выбранных чисел Пашей обязательно есть число, равное 1.