Определите площадь области, ограниченной графиками функций y=2sinx и y=-sinx при условии

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Мы знаем, что нам нужно определить площадь области, ограниченной графиками двух функций y=2sinx и y=-sinx на интервале от 0 до \( \pi \).

Первым шагом давайте нарисуем графики этих двух функций на указанном интервале. Затем мы вычислим точки пересечения этих графиков и найдем площадь между ними.

Начнем с графика функции \( y = 2\sin(x) \). Чтобы нарисовать его, мы можем использовать значения x от 0 до \( \pi \) и подставить их в функцию для получения соответствующих значений y. Вот таблица значений:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y = 2\sin(x) \\
\hline
0 & 0 \\
\frac{\pi}{6} & 1 \\
\frac{\pi}{4} & \sqrt{2} \\
\frac{\pi}{3} & \frac{3}{2} \\
\frac{\pi}{2} & 2 \\
\frac{2\pi}{3} & \frac{3}{2} \\
\frac{3\pi}{4} & \sqrt{2} \\
\frac{5\pi}{6} & 1 \\
\pi & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

С помощью этих значений мы можем построить график функции \( y = 2\sin(x) \) на интервале от 0 до \( \pi \). Кроме того, мы увидим, что этот график является симметричным относительно оси x.

Теперь давайте построим график функции \( y = -\sin(x) \) на том же интервале. Вот таблица значений:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y = -\sin(x) \\
\hline
0 & 0 \\
\frac{\pi}{6} & -\frac{1}{2} \\
\frac{\pi}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\pi}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{\pi}{2} & -1 \\
\frac{2\pi}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{3\pi}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{5\pi}{6} & -\frac{1}{2} \\
\pi & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Мы построили график функции \( y = -\sin(x) \). Заметим, что этот график также симметричен относительно оси x.

Теперь, чтобы определить точки пересечения этих графиков, мы можем приравнять функции \( 2\sin(x) \) и \( -\sin(x) \) и решить полученное уравнение:

\[
2\sin(x) = -\sin(x)
\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

\[
2\sin(x) + \sin(x) = 0
\]

\[
3\sin(x) = 0
\]

Это уравнение имеет два решения: \( x = 0 \) и \( x = \pi \). То есть, графики функций \( y = 2\sin(x) \) и \( y = -\sin(x) \) пересекаются в точках (0, 0) и (\( \pi \), 0).

Теперь, чтобы найти площадь области между этими кривыми, мы можем использовать формулу:

\[
\text{Площадь} = \int_{x=a}^{x=b}(f(x) - g(x))dx
\]

где \( f(x) \) и \( g(x) \) - функции, ограничивающие область, a и b - точки пересечения этих функций.

В нашем случае, функция \( f(x) \) - это \( y = 2\sin(x) \), функция \( g(x) \) - это \( y = -\sin(x) \), a = 0 и b = \( \pi \). Подставим значения и вычислим площадь:

\[
\text{Площадь} = \int_{0}^{\pi}(2\sin(x) - (-\sin(x)))dx
\]

\[
\text{Площадь} = \int_{0}^{\pi}(3\sin(x))dx
\]

Для решения этого интеграла мы можем использовать интегральные свойства и таблицу стандартных интегралов. Проведя вычисления, получим:

\[
\text{Площадь} = -3\cos(x)\bigg|_{0}^{\pi}
\]

\[
\text{Площадь} = (-3\cos(\pi)) - (-3\cos(0))
\]

\[
\text{Площадь} = (-3(-1)) - (-3(1))
\]

\[
\text{Площадь} = 3 + 3
\]

\[
\text{Площадь} = 6
\]

Таким образом, площадь области, ограниченной графиками функций \( y = 2\sin(x) \) и \( y = -\sin(x) \) на интервале от 0 до \( \pi \), равна 6 единицам квадратных.