Оля записала на доске 7000 чисел, которые не имеют делителей, являющихся кубами чисел больше единицы. Докажите, что хотя бы одно из этих чисел имеет простой делитель, больший
Шустр
Чтобы решить данную задачу, рассмотрим противоположное утверждение, то есть предположим, что все 7000 чисел на доске не имеют простых делителей, больших 19.
Для начала, давайте рассмотрим все простые числа до 19:
\[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\]
Теперь, давайте рассмотрим кубы этих простых чисел:
\[ 2^3, 3^3, 5^3, 7^3, 11^3, 13^3, 17^3, 19^3\]
Если число не имеет делителей, являющихся кубами чисел больше единицы, то оно также не может иметь делители, являющиеся простыми числами. Иначе говоря, ни одно из 7000 чисел на доске не может быть делится на одно из указанных кубов простых чисел.
Теперь давайте посмотрим на числа, возведенные в куб, которые меньше или равны 7000:
\[2^3 = 8, 3^3 = 27, 4^3 = 64, 5^3 = 125, 6^3 = 216, 7^3 = 343, \dots, 19^3 = 6859\]
Мы видим, что последнее число в этой последовательности - 6859, меньше чем 7000.
Но по условию задачи все 7000 чисел на доске не имеют делителей, являющихся кубами чисел больше единицы. Это противоречит тому, что 6859 - куб простого числа 19.
Таким образом, мы пришли к противоречию. Значит, предположение о том, что все 7000 чисел на доске не имеют простых делителей, больших 19, неверно. Следовательно, хотя бы одно из этих чисел имеет простой делитель, больший 19.
Для начала, давайте рассмотрим все простые числа до 19:
\[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\]
Теперь, давайте рассмотрим кубы этих простых чисел:
\[ 2^3, 3^3, 5^3, 7^3, 11^3, 13^3, 17^3, 19^3\]
Если число не имеет делителей, являющихся кубами чисел больше единицы, то оно также не может иметь делители, являющиеся простыми числами. Иначе говоря, ни одно из 7000 чисел на доске не может быть делится на одно из указанных кубов простых чисел.
Теперь давайте посмотрим на числа, возведенные в куб, которые меньше или равны 7000:
\[2^3 = 8, 3^3 = 27, 4^3 = 64, 5^3 = 125, 6^3 = 216, 7^3 = 343, \dots, 19^3 = 6859\]
Мы видим, что последнее число в этой последовательности - 6859, меньше чем 7000.
Но по условию задачи все 7000 чисел на доске не имеют делителей, являющихся кубами чисел больше единицы. Это противоречит тому, что 6859 - куб простого числа 19.
Таким образом, мы пришли к противоречию. Значит, предположение о том, что все 7000 чисел на доске не имеют простых делителей, больших 19, неверно. Следовательно, хотя бы одно из этих чисел имеет простой делитель, больший 19.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
