Какова разница между самым большим и самым маленьким 45-значным натуральным числом, сумма цифр которого равна 45, также

Давайте разберем задачу пошагово и найдем ее решение.

1. Пусть наше число - \( N \). У нас есть следующая информация о нем:
- Это 45-значное натуральное число.
- Сумма его цифр равна 45.
- Оно оканчивается на 45.
- Оно делится на 45.

2. Рассмотрим ограничения, которые налагаются на наше число:
- Сумма цифр числа равна 45. Так как число имеет 45 цифр, получаем, что каждая цифра равна 1.
- Число оканчивается на 45. Значит, последние две цифры числа равны 4 и 5.
- Число делится на 45. Это значит, что оно также должно делиться на 9 и на 5.

3. Поскольку каждая цифра числа составляет 1 и число оканчивается на 45, мы можем записать число следующим образом:
\[ N = 111111111111111111111111111111111111111111111111 \ldots 45 \]

4. Теперь проверим кратность этого числа. Чтобы число делилось на 9, его сумма цифр должна быть кратной 9. У нас есть 45 цифр, каждая равна 1, поэтому сумма цифр число равна 45. Используя свойство делимости на 9, получаем, что число действительно делится на 9.

5. Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть 5. У нас есть 45 цифр, каждая равна 1, и 5 стоит на последнем месте, поэтому число действительно делится на 5.

6. Теперь найдем самое большое и самое маленькое такие числа.
- Самое большое число будет иметь наибольшую цифру на каждой позиции, поэтому получим число:
\[ M = 999999999999999999999999999999999999999999999995 \]
- Самое маленькое число будет иметь наименьшую цифру на каждой позиции, поэтому получим число:
\[ m = 111111111111111111111111111111111111111111111115 \]

7. Найдем разницу между этими двумя числами: \(\Delta = M - m\). Подставив числа, получаем:
\[ \Delta = 999999999999999999999999999999999999999999999995 - 111111111111111111111111111111111111111111111115 \]

8. Вычислим разницу, используя вычитание по каждой позиции:
\[ \Delta = 888888888888888888888888888888888888888888888880 \]

9. Наконец, найдем сумму цифр числа \(\Delta\). У нас есть 45 цифр, каждая равна 8, поэтому сумма цифр равна:
\[ 45 \times 8 = 360 \]

Таким образом, сумма цифр найденной разности равна 360.