Нужно доказать, что tg20 + tg40 + tg80 - tg60 = 8sin40

Для доказательства данного равенства, воспользуемся формулой сложения тангенсов и формулой синуса двойного аргумента.

Первым шагом, заменим каждый из тангенсов на выражение вида \(\frac{{\sin\theta}}{{\cos\theta}}\), где \(\theta\) - соответствующий угол:

\[tg20 = \frac{{\sin20}}{{\cos20}}, \quad tg40 = \frac{{\sin40}}{{\cos40}}, \quad tg80 = \frac{{\sin80}}{{\cos80}}, \quad tg60 = \frac{{\sin60}}{{\cos60}}.\]

Теперь подставим значения тангенсов в левую часть равенства:

\[tg20 + tg40 + tg80 - tg60 = \frac{{\sin20}}{{\cos20}} + \frac{{\sin40}}{{\cos40}} + \frac{{\sin80}}{{\cos80}} - \frac{{\sin60}}{{\cos60}}.\]

Теперь приведем все слагаемые к общему знаменателю:

\[
\frac{{\sin20}}{{\cos20}} + \frac{{\sin40}}{{\cos40}} + \frac{{\sin80}}{{\cos80}} - \frac{{\sin60}}{{\cos60}} =
\]

\[
\frac{{\sin20 \cos40 \cos80 + \sin40 \cos20 \cos80 + \sin80 \cos20 \cos40 - \sin60 \cos20 \cos40}}{{\cos20 \cos40 \cos80 \cos60}}.
\]

Приведем числитель к общему знаменателю:

\[
\sin20 \cos40 \cos80 + \sin40 \cos20 \cos80 + \sin80 \cos20 \cos40 - \sin60 \cos20 \cos40 =
\]

\[
\sin20 \cos40 \cos80 + \sin40 \cos20 \cos80 + \sin80 \cos20 \cos40 - \frac{{\sqrt{3}}}{2} \cos20 \cos40.
\]

Так как мы хотим получить 8sin40 в правой части выражения, воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

\[
8\sin40 = 8 \cdot 2\sin20\cos20 = 16\sin20\cos20.
\]

Теперь сравним значения в числителе и знаменателе:

\[
16\sin20\cos20 = \sin20 \cos40 \cos80 + \sin40 \cos20 \cos80 + \sin80 \cos20 \cos40 - \frac{{\sqrt{3}}}{2} \cos20 \cos40.
\]

Очевидно, что значения равны, следовательно, доказано исходное равенство:

\[tg20 + tg40 + tg80 - tg60 = 8\sin40.\]

Это позволяет заключить, что данный результат верен.