4.1. 1) Берлenenі 3-ге бөлуі мүмкін емес бір санды сұраушытарыңыз; 2) Саны 5-ке не 7-ге бөлінетін барлық екі-таңбалы

4.1.

1) Для нахождения числа, которое не делится на 3, необходимо использовать кратность. Числа, которые делятся на 3, имеют остаток 0 при делении на 3. Следовательно, число, не делящееся на 3, будет иметь остаток 1 или 2. Примерами таких чисел могут быть: 1, 2, 4, 5, 7, и т.д.

2) Чтобы найти все двузначные числа, которые делятся и на 5, и на 7, необходимо найти их наименьшее общее кратное (НОК) и использовать его в качестве шага для нахождения всех таких чисел. НОК для 5 и 7 равно 35. Таким образом, все двузначные числа, которые делятся и на 5, и на 7, будут составлять арифметическую прогрессию с шагом 35. Примерами таких чисел могут быть: 35, 70, 105, 140, и т.д.

4.2.

1) Для выбора 4 из 5 кандидатов можно использовать формулу сочетаний. Формула сочетаний задается следующим образом: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n\) - общее количество предметов, а \(k\) - количество предметов, которые мы хотим выбрать. В данном случае это 5 и 4 соответственно. Расчет будет следующим: \(\binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5\). Таким образом, существует 5 способов выбрать 4 участника из 5.

2) Если требуется выбрать 3 из 5 кандидатов, можно применить аналогичный подход, используя формулу сочетаний. Расчет будет следующим: \(\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = 10\). Таким образом, существует 10 способов выбрать 3 участника из 5.

4.3.

1) Если оба числа должны делиться на 4 без остатка, то нужно найти их наименьшее общее кратное (НОК). НОК для 4 и 4 равно 4. Следовательно, оба числа должны быть кратными 4. Примерами таких чисел могут быть: 4, 8, 12, 16, и т.д.

2) Если оба числа должны делиться на 5 без остатка, то нужно найти их наименьшее общее кратное (НОК). НОК для 5 и 5 равно 5. Следовательно, оба числа должны быть кратными 5. Примерами таких чисел могут быть: 5, 10, 15, 20, и т.д. В данном случае любые другие значения чисел, отличные от кратных 5, не подходят.

4.4.

1) Чтобы найти, сколько групп по 5 человек можно составить из 5-ти, нужно воспользоваться делением с остатком. По 5 человек можно составить только 1 группу. Оставшиеся 2 человека не хватит на полную группу.

2) Чтобы найти, сколько групп по 7 человек можно составить из 5-ти, нужно воспользоваться делением с остатком. По 7 человек невозможно составить ни одной группы. 5 человек не хватает для образования полной группы.

4.5.

1) Если среди 30 учеников требуется выбрать только одного представителя, то это означает выбор из 30 учеников. Для этого можно использовать формулу сочетаний: \(\binom{30}{1} = \frac{30!}{1!(30-1)!} = \frac{30!}{1! \cdot 29!} = 30\). Таким образом, существует 30 способов выбрать одного ученика из 30.

2) Если требуется выбрать 2 ученика из 30, то это означает выбор из 30 учеников двух. Применяя формулу сочетаний, получим: \(\binom{30}{2} = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30!}{2! \cdot 28!} = \frac{30 \cdot 29}{2 \cdot 1} = 435\). Таким образом, существует 435 способов выбрать двух учеников из 30.

3) Если требуется выбрать 3 учеников из 30, то это означает выбор из 30 учеников трех. Применяя формулу сочетаний, получим: \(\binom{30}{3} = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30!}{3! \cdot 27!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4060\). Таким образом, существует 4060 способов выбрать трех учеников из 30.

4.6.

В данном случае, для нахождения количества различных перестановок букв в слове "Рельс", можно воспользоваться формулой для перестановок с повторениями. Слово "Рельс" содержит 5 букв, причем буквы "е" и "л" повторяются. Формула для перестановок с повторениями задается следующим образом: \(P = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}\), где \(n\) - общее количество элементов, а \(n_1\), \(n_2\), ..., \(n_k\) - количество повторяющихся элементов.

В данном случае, имеем 5 букв и 2 повторяющиеся буквы "е" и "л". Расчет будет следующим: \(P = \frac{5!}{2! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 60\). Таким образом, количество различных перестановок букв в слове "Рельс" равно 60.