неподвижной

Задача: неподвижной точке.

Дано: векторное пространство \(V\) и оператор \(A\) на этом пространстве.

Найдите неподвижную точку оператора \(A\), то есть такой вектор \(x\), для которого \(Ax = x\).

Решение:

1. Понимание неподвижной точки:
Неподвижная точка оператора \(A\) - это вектор, который при действии оператора \(A\) остаётся неизменным. Или, говоря иначе, это такой вектор, который является собственным вектором оператора \(A\) с собственным значением 1.

2. Нахождение неподвижной точки:
Для того чтобы найти неподвижную точку оператора, нужно решить уравнение \(Ax = x\), где \(x\) - неподвижная точка оператора \(A\). Это равенство можно переписать в виде \(Ax - x = 0\), или в более компактной форме \((A - I)x = 0\), где \(I\) - единичный оператор.

3. Нахождение собственных векторов оператора:
Для этого рассмотрим характеристическое уравнение оператора \(A - I\): \(\det(A - I - \lambda I) = 0\), где \(\lambda\) - собственное значение оператора \(A - I\), \(I\) - единичный оператор.

4. Решение характеристического уравнения:
Для нахождения собственных значений и собственных векторов оператора, нужно решить характеристическое уравнение \(\det(A - \lambda I) = 0\), где \(\lambda\) - собственное значение оператора \(A\). Найденные собственные значения должны быть равны 1, так как мы ищем неподвижную точку оператора \(A\)

5. Находим собственные векторы:
Найдя собственные значения оператора \(A\), решаем систему уравнений \((A - \lambda I)x = 0\) для каждого собственного значения \(\lambda = 1\), чтобы найти собственные векторы оператора \(A\), соответствующие собственному значению 1. Собственные векторы, найденные таким образом, будут неподвижными точками оператора \(A\).

6. Проверяем неподвижные точки:
Подставляем найденные неподвижные точки в исходное уравнение \(Ax = x\) и проверяем, что оно выполняется.

В итоге, используя эти шаги, можно найти все неподвижные точки оператора \(A\) на заданном векторном пространстве \(V\).