Необходимо определить площадь области, ограниченной кривой y=4x-x^2, горизонтальной прямой y=5, вертикальными линиями

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Мы должны найти площадь области, ограниченной кривой \(y=4x-x^2\), горизонтальной линией \(y=5\), и вертикальными линиями \(x=0\) и \(x=3\).

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривой \(y=4x-x^2\) и горизонтальной линии \(y=5\). Для этого приравняем уравнения и найдем значение \(x\):

\[4x-x^2 = 5\]

Выразим уравнение в квадратном виде:

\[x^2 - 4x + 5 = 0\]

Решим это квадратное уравнение, используя метод дискриминанта или факторизацию. В данном случае можно использовать факторизацию:

\[(x-1)(x-5) = 0\]

Таким образом, у нас два корня: \(x = 1\) и \(x = 5\).

Шаг 2: Теперь, чтобы найти площадь области, мы должны интегрировать функцию \(y=4x-x^2\) от \(x=1\) до \(x=3\) (поскольку наша область ограничена вертикальными линиями \(x=0\) и \(x=3\)).

Площадь области можно найти следующим образом:

\[Площадь = \int_{1}^{3} (4x-x^2) dx\]

Проинтегрируем данную функцию:

\[Площадь = \left[2x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_{1}^{3}\]

Подставим значения \(x = 3\) и \(x = 1\) в эту формулу:

\[Площадь = \left(2(3)^2 - \frac{(3)^3}{3}\right) - \left(2(1)^2 - \frac{(1)^3}{3}\right)\]

\[Площадь = \left(18 - \frac{27}{3}\right) - \left(2 - \frac{1}{3}\right)\]

\[Площадь = 15 - \frac{2}{3}\]

Шаг 3: Выполним последние вычисления:

\[Площадь = \frac{45}{3} - \frac{2}{3} = \frac{43}{3}\]

Итак, площадь области, ограниченной кривой \(y=4x-x^2\), горизонтальной линией \(y=5\), и вертикальными линиями \(x=0\) и \(x=3\), равна \(\frac{43}{3}\).

Надеюсь, что это решение было понятным и детальным. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Удачи на экзамене!