1. Подтвердите делится ли число а на m, если a равно 20 в степени 3 плюс 58 в степени 4 плюс 77 в квадрате плюс 16

1. Для подтверждения деления числа \(a\) на \(m\), где \(a = 20^3 + 58^4 + 77^2 + 16\) и \(m = 19\), выполним деление и проверим остаток.

Делим \(a\) на \(m\):

\[ a \mod m = (20^3 + 58^4 + 77^2 + 16) \mod 19 \]

Вычислим каждое слагаемое и возьмем остатки от деления:

\[ (20^3 \mod 19) + (58^4 \mod 19) + (77^2 \mod 19) + (16 \mod 19) \]

\[ (8000 \mod 19) + (352^2 \mod 19) + (5929 \mod 19) + 16 \mod 19) \]

\[ 17 + (10^2 \mod 19) + 4 + 16 \mod 19) \]

\[ 17 + (100 \mod 19) + 4 + 16 \mod 19) \]

\[ 17 + 5 + 4 + 16 \mod 19) \]

\[ 42 \mod 19 \]

\[ 5 \]

Остаток от деления \(a\) на \(m\) равен 5. Поскольку остаток не равен нулю, число \(a\) не делится на \(m\).

2. Чтобы доказать, что число \(a\) делится на \(p\) для любых натуральных \(m\) и \(n\), где \(a = (3m + 5n + 2)^7 \cdot (5m + 9n + 5)^6\) и \(p = 64\), воспользуемся свойствами степеней и деления.

Выполним деление \(a\) на \(p\):

\[ a \mod p = ((3m + 5n + 2)^7 \cdot (5m + 9n + 5)^6) \mod 64 \]

Разложим каждое слагаемое по модулю и возьмем остатки от деления:

\[ ((3m + 5n + 2)^7 \mod 64) \cdot ((5m + 9n + 5)^6 \mod 64) \]

Обратимся к свойству бинома Ньютона и раскроем каждое слагаемое в степени:

\[ ((3m)^7 + \binom{7}{1}(3m)^6(5n) + \binom{7}{2}(3m)^5(5n)^2 + \ldots + (5n)^7 \mod 64) \cdot ((5m)^6 + \ldots + (9n)^6 \mod 64) \]

Так как нас интересует только остаток от деления, мы можем пренебречь всеми слагаемыми, содержащими более высокие степени \(m\) и \(n\), так как они будут делиться на \(64\).

Упростив выражение, получим:

\[ (3m)^7 \mod 64 \cdot (5m)^6 \mod 64 \]

Рассмотрим каждый множитель по отдельности:

\[ (3^7 \cdot m^7 \mod 64) \cdot (5^6 \cdot m^6 \mod 64) \]

\[ (2187 \cdot m^7 \mod 64) \cdot (15625 \cdot m^6 \mod 64) \]

\[ (19 \cdot m^7 \mod 64) \cdot (1 \cdot m^6 \mod 64) \]

Обозначим \(x = m \mod 64\):

\[ (19 \cdot x^7 \mod 64) \cdot (x^6 \mod 64) \]

Выполним расчеты для всех возможных \(x\) от \(0\) до \(63\). Проверим, делится ли \(19 \cdot x^7\) и \(x^6\) на \(64\) для всех \(x\). Если для всех значений \(x\) наше утверждение будет истинно, то мы докажем, что \(a\) делится на \(p\).

3. Чтобы доказать, что если число \(c\) делится на \(m\), то число \(d\) также делится на \(m\), где \(c = 5a + 3b\), \(m = 11\), и \(d = 7a + 2b\), воспользуемся свойствами деления.

Заметим, что \(d = (2 \cdot 5 - 7 \cdot 3) \cdot a + (2 \cdot 3 + 7 \cdot 5) \cdot b\).

Разложим \(d\) и \(c\) по модулю \(11\):

\[ d \mod 11 = ((2 \cdot 5 - 7 \cdot 3) \cdot a + (2 \cdot 3 + 7 \cdot 5) \cdot b) \mod 11 \]

Упростим выражение:

\[ d \mod 11 = (-1 \cdot a + 11 \cdot b) \mod 11 \]

Так как \(11 \cdot b\) делится на \(11\) без остатка, выражение можно переписать как:

\[ d \mod 11 = (-1 \cdot a + 0) \mod 11 \]

\[ d \mod 11 = -1 \cdot a \mod 11 \]

Из данного выражения видно, что \(d\) будет делиться на \(11\), если \(a\) делится на \(11\). Говоря математическим языком, если \(c\) делится на \(m\), то и \(d\) делится на \(m\).

4. Чтобы найти все целые числа, которые при делении на \(m\) и \(n\) дают остатки \(r_1\) и \(r_2\) соответственно, где \(m = 15\), \(n = 24\), \(r_1 = 8\), и \(r_2 = 9\), воспользуемся китайской теоремой об остатках.

Сначала определим значение, которое будет удовлетворять данным остаткам при делении на \(m\) и \(n\). Пусть это число обозначается как \(x\).

У нас есть следующая система сравнений:

\[ x \mod 15 = 8 \]
\[ x \mod 24 = 9 \]

Решим данную систему сравнений с помощью китайской теоремы об остатках.

Разложим \(m\) и \(n\) на взаимно простые множители:

\[ 15 = 3 \cdot 5 \]
\[ 24 = 2^3 \cdot 3 \]

Найдем обратные элементы \(M_1\) и \(M_2\) для каждого модуля:

\[ M_1 = n \mod m = 24 \mod 15 = 9 \]
\[ M_2 = m \mod n = 15 \mod 24 = 15 \]

Теперь найдем \(x\) с помощью следующей формулы:

\[ x = r_1 \cdot M_1 \cdot M_2 + r_2 \cdot M_2 \cdot M_1 \]
\[ x = 8 \cdot 9 \cdot 15 + 9 \cdot 15 \cdot 9 \]
\[ x = 1080 + 1215 \]
\[ x = 2295 \]

Таким образом, все целые числа, которые при делении на \(m\) и \(n\) дают остатки \(r_1 = 8\) и \(r_2 = 9\) соответственно, это числа вида \(2295 + k \cdot lcm(m, n)\), где \(k\) - целое число и \(lcm(m, n)\) - наименьшее общее кратное \(m\) и \(n\).

5. Чтобы доказать, что при любом значении \(n\) число... [текст продолжается]