1. На какую цифру заканчивается число, полученное путем сложения 14²³, 23²³ и 70²³? 2. На какую цифру заканчивается

1. Чтобы определить на какую цифру заканчивается число, полученное путем сложения \(14^{23}\), \(23^{23}\) и \(70^{23}\), мы можем просуммировать последние цифры каждого из этих чисел. Начнем с первого числа:

Последняя цифра числа \(14^{23}\) будет равна последней цифре числа \(14\) в степени \(23\). Чтобы найти последнюю цифру числа в степени, мы можем рассмотреть цикличность последних цифр возведения в степень. Например, последние цифры возведения числа \(2\) в степень (к примеру, \(2^{1}\), \(2^{2}\), \(2^{3}\), и т.д.) представляют следующую последовательность: \(2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, \ldots\). Отсюда можно заключить, что \(2\) в любой нечётной степени заканчивается на \(2\), и \(2\) в любой чётной степени заканчивается на \(4\).

Таким образом, \(14^{23}\) в степени \(23\) заканчивается на \(4\).

То же самое можно проделать и для остальных двух чисел. Последняя цифра числа \(23\) в степени \(23\) будет равна последней цифре числа \(3\) в степени \(23\), а последняя цифра числа \(70\) в степени \(23\) будет равна последней цифре числа \(0\) в степени \(23\).

Очевидно, что последняя цифра числа \(3\) в любой нечётной степени равна \(3\), а последняя цифра числа \(0\) в любой степени равна \(0\).

Теперь давайте сложим последние цифры каждого из чисел:

\(4 + 3 + 0 = 7\)

Таким образом, число, полученное путем сложения \(14^{23}\), \(23^{23}\) и \(70^{23}\), заканчивается на цифру \(7\).

2. Если к \(2^{4n+1}\) добавить единицу, нам нужно найти последнюю цифру числа \(2\) в степени \(4n+1\). Рассмотрим последовательность последних цифр возведения числа \(2\) в степень:

\(2^{1}\): последняя цифра - \(2\)
\(2^{2}\): последняя цифра - \(4\)
\(2^{3}\): последняя цифра - \(8\)
\(2^{4}\): последняя цифра - \(6\)
\(2^{5}\): последняя цифра - \(2\)
\(2^{6}\): последняя цифра - \(4\)
\(2^{7}\): последняя цифра - \(8\)
\(2^{8}\): последняя цифра - \(6\)
И так далее.

Мы видим, что последние цифры возведения числа \(2\) в степень повторяются с периодом из четырех цифр: \(2, 4, 8, 6\).

Заметим также, что при \(4n+1\) число \(4n\) четное, а значит последняя цифра будет \(6\) (так как она повторяется через каждые \(4\) степени), а прибавление единицы даст нам последнюю цифру \(7\).

Таким образом, число, полученное путем добавления единицы к \(2^{4n+1}\), заканчивается на цифру \(7\).

3. Аналогичным образом, если к \(3^{4n+1}\) добавить единицу, нам нужно найти последнюю цифру числа \(3\) в степени \(4n+1\). Рассмотрим последовательность последних цифр возведения числа \(3\) в степень:

\(3^{1}\): последняя цифра - \(3\)
\(3^{2}\): последняя цифра - \(9\)
\(3^{3}\): последняя цифра - \(7\)
\(3^{4}\): последняя цифра - \(1\)
\(3^{5}\): последняя цифра - \(3\)
\(3^{6}\): последняя цифра - \(9\)
\(3^{7}\): последняя цифра - \(7\)
\(3^{8}\): последняя цифра - \(1\)
И так далее.

Мы видим, что последние цифры возведения числа \(3\) в степень повторяются с периодом из четырех цифр: \(3, 9, 7, 1\).

Как и в предыдущем примере, при \(4n+1\) число \(4n\) четное, а значит последняя цифра будет \(1\) (так как она повторяется через каждые \(4\) степени), а прибавление единицы даст нам последнюю цифру \(2\).

Таким образом, число, полученное путем добавления единицы к \(3^{4n+1}\), заканчивается на цифру \(2\).

4. Наконец, если к \(5^{7n+2}\) добавить двойку, нам нужно найти последнюю цифру числа \(5\) в степени \(7n+2\). Рассмотрим последовательность последних цифр возведения числа \(5\) в степень:

\(5^{2}\): последняя цифра - \(5\)
\(5^{3}\): последняя цифра - \(2\)
\(5^{4}\): последняя цифра - \(1\)
\(5^{5}\): последняя цифра - \(5\)
\(5^{6}\): последняя цифра - \(2\)
\(5^{7}\): последняя цифра - \(1\)
И так далее.

Мы видим, что последние цифры возведения числа \(5\) в степень повторяются с периодом из четырех цифр: \(5, 2, 1\).

Заметим также, что при \(7n+2\) число \(7n\) кратно семи, а значит последняя цифра будет \(1\) (так как она повторяется через каждые \(4\) степени), а добавление двойки даст нам последнюю цифру \(3\).

Таким образом, число, полученное путем добавления двойки к \(5^{7n+2}\), заканчивается на цифру \(3\).