Необходимо найти координаты точек пересечения прямой х + 2у – 5 = 0 и окружности (х-1)^2+(у-2)^2=5 без проведения

Хорошо, начнем с решения вашей задачи. У нас есть данная прямая \(x + 2y - 5 = 0\) и окружность \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 5\). Чтобы найти точки пересечения, необходимо найти значения \(x\) и \(y\), при которых уравнения прямой и окружности выполняются одновременно.

Давайте начнем с уравнения прямой. Мы можем выразить \(x\) из него:

\[x = 5 - 2y\]

Теперь мы можем подставить это значение \(x\) в уравнение окружности:

\[(5-2y-1)^2 + (y-2)^2 = 5\]

Раскроем скобки и упростим:

\[16y^2 - 54y + 37 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(y\). Давайте найдем его корни, используя квадратное уравнение:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае коэффициенты равны:
\[a = 16, b = -54, c = 37\]

Подставим их в формулу и решим уравнение:

\[y = \frac{-(-54) \pm \sqrt{(-54)^2 - 4(16)(37)}}{2(16)}\]
\[y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 2368}}{32}\]
\[y = \frac{54 \pm \sqrt{548}}{32}\]

Сокращаем и извлекаем квадратный корень:

\[y = \frac{54 \pm 2\sqrt{137}}{32}\]

Теперь найдем значения \(x\) для каждого значения \(y\), используя уравнение прямой:

\[x = 5 - 2y\]

Для первого значения \(y\) получаем:

\[x = 5 - 2\left(\frac{54 + 2\sqrt{137}}{32}\right)\]

Для второго значения \(y\) получаем:

\[x = 5 - 2\left(\frac{54 - 2\sqrt{137}}{32}\right)\]

Теперь мы получили две пары значений \(x\) и \(y\), которые являются координатами точек пересечения прямой и окружности.