Докажите, что значение многочлена p(x)=2x^4-3x^3+x-10 при a равно нулю, используя схему Горнера

Для доказательства того, что значение многочлена p(x)=2x^4-3x^3+x-10 при a равно нулю, можно использовать схему Горнера. Давайте проведем этот процесс пошагово.

1. Начнем, записав коэффициенты многочлена в порядке убывания степеней и применим схему Горнера:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 2 & -3 & 1 & -10 \\
\hline
\end{array}
\]

2. Для первого шага установим нашо проверяемое значение a под длинной чертой:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
a & 2 & -3 & 1 & -10 \\
\hline
\end{array}
\]

3. Промежуточное значение можно найти, умножив a на первый коэффициент многочлена:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
a & 2 & -3 & 1 & -10 \\
\hline
& & & & \\
\hline
\end{array}
\]

4. Запишем это значение над вторым коэффициентом и просуммируем:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
a & 2 & -3 & 1 & -10 \\
\hline
& & 4a & & \\
\hline
\end{array}
\]

5. Повторяем процесс для каждого следующего шага, умножая полученное значение на следующий коэффициент и суммируя результаты:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
a & 2 & -3 & 1 & -10 \\
\hline
& & 4a & a^2-9a & \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
a & 2 & -3 & 1 & -10 \\
\hline
& & 4a & a^2-9a & a^3-8a^2+a \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
a & 2 & -3 & 1 & -10 \\
\hline
& & 4a & a^2-9a & a^3-8a^2+a-10 \\
\hline
\end{array}
\]

6. Наконец, вычитаем последнее значение из первоначального многочлена:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
a & 2 & -3 & 1 & -10 \\
\hline
& & 4a & a^2-9a & a^3-8a^2+a-10 \\
\hline
& 2 & -3+4a & 1+(a^2-9a) & -10+(a^3-8a^2+a-10) \\
\hline
\end{array}
\]

7. Обратите внимание, что в последней строке коэффициент при \(a\) исчезает, что означает, что многочлен p(x) при a равно нулю:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
a & 2 & -3 & 1 & -10 \\
\hline
& & 4a & a^2-9a & a^3-8a^2+a-10 \\
\hline
& 2 & -3+4a & 1+(a^2-9a) & -10+(a^3-8a^2+a-10) \\
\hline
& 2 & -3+4a & 1+(a^2-9a) & (a^3-8a^2+a-10) \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, используя схему Горнера, мы можем увидеть, что значение многочлена p(x) равно нулю при значении a.