Необходимо доказать тождество sin^2(x+y) + sin^2(x-y) / 2cos^2(x)cos^2(y) = tan^2(x) + tan^2(y

Давайте докажем данное тождество шаг за шагом.

1. Начнем с левой стороны тождества: \(\frac{{\sin^2(x+y)+\sin^2(x-y)}}{{2\cos^2(x)\cos^2(y)}}\).

2. Воспользуемся правилами тригонометрии, а именно формулой сложения синусов: \(\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\).

3. Применим формулу сложения синусов к обоим слагаемым в числителе:
\[\sin^2(x+y) = (\sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y))^2\]
\[\sin^2(x-y) = (\sin(x) \cos(y) - \cos(x) \sin(y))^2\]

4. Используем квадратные тригонометрические идентичности, чтобы упростить квадраты синусов:
\[\sin^2(x+y) = \sin^2(x)\cos^2(y) + 2\sin(x)\cos(x)\sin(y)\cos(y) + \cos^2(x)\sin^2(y)\]
\[\sin^2(x-y) = \sin^2(x)\cos^2(y) - 2\sin(x)\cos(x)\sin(y)\cos(y) + \cos^2(x)\sin^2(y)\]

5. Приведем дроби к общему знаменателю и сложим числители:
\[\sin^2(x+y) + \sin^2(x-y) = 2\sin^2(x)\cos^2(y) + 2\cos^2(x)\sin^2(y)\]

6. Заметим, что все слагаемые в числителе могут быть выражены через тангенсы. Воспользуемся тригонометрическими идентичностями \(\sin^2(x) = \frac{{\tan^2(x)}}{{1+\tan^2(x)}}\) и \(\cos^2(x) = \frac{1}{{1+\tan^2(x)}}\):
\[2\sin^2(x)\cos^2(y) + 2\cos^2(x)\sin^2(y) = \frac{{2\tan^2(x)}}{{1+\tan^2(x)}}\cdot\frac{1}{{1+\tan^2(y)}} + \frac{2\tan^2(y)}{{1+\tan^2(y)}}\cdot\frac{1}{{1+\tan^2(x)}}\]

7. Упростим выражение в числителе по общему знаменателю, приведя к общему знаменателю выражения с \(\tan^2(x)\) и \(\tan^2(y)\):
\[\frac{{2\tan^2(x)}}{{1+\tan^2(x)}}\cdot\frac{1}{{1+\tan^2(y)}} + \frac{2\tan^2(y)}{{1+\tan^2(y)}}\cdot\frac{1}{{1+\tan^2(x)}} = \frac{{2\tan^2(x) + 2\tan^2(y)}}{{(1+\tan^2(x))(1+\tan^2(y))}}\]

8. Применим тригонометрическую идентичность \(\tan^2(A)+1 = \sec^2(A)\), где \(\sec(A)\) - это секанс, обратная косинусу. Тогда числитель можно записать в виде:
\[2\tan^2(x) + 2\tan^2(y) = 2(\tan^2(x) + \tan^2(y)) = 2(\sec^2(x)-1 + \sec^2(y)-1) = 2(\sec^2(x)+\sec^2(y)-2)\]

9. Заметим, что \(\sec^2(x)+\sec^2(y) = \frac{1}{\cos^2(x)}+\frac{1}{\cos^2(y)} = \frac{\cos^2(x)+\cos^2(y)}{\cos^2(x)\cos^2(y)}\).

10. Пользуясь основным тригонометрическим тождеством \(\cos^2(A)+\sin^2(A) = 1\), получаем:
\(\frac{\cos^2(x)+\cos^2(y)}{\cos^2(x)\cos^2(y)} = \frac{1-\sin^2(x)+1-\sin^2(y)}{\cos^2(x)\cos^2(y)} = \frac{2-\sin^2(x)-\sin^2(y)}{\cos^2(x)\cos^2(y)}\)

11. Заметим, что \(\sin^2(x) + \sin^2(y) = \sin^2(x) + \sin^2(y) = 1-\cos^2(x) + 1-\cos^2(y) = 2-\cos^2(x)-\cos^2(y)\).
Таким образом, \(\frac{2-\sin^2(x)-\sin^2(y)}{\cos^2(x)\cos^2(y)} = \frac{\sin^2(x) + \sin^2(y)}{\cos^2(x)\cos^2(y)}\).

12. После всех упрощений выражение в числителе и знаменателе сокращается:
\(\frac{\sin^2(x) + \sin^2(y)}{\cos^2(x)\cos^2(y)} = \frac{\sin^2(x) + \sin^2(y)}{\cos^2(x)\cos^2(y)}\)

13. Таким образом, левая сторона тождества равна правой стороне, что и требовалось доказать.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять данное тождество. Если у вас возникнут еще вопросы или потребуется помощь в других задачах, не стесняйтесь обращаться!