Напишите уравнение окружности, если она касается в точке P(6;3

Для того чтобы написать уравнение окружности, нам понадобятся координаты ее центра и радиус.

Прежде всего, давайте определим центр окружности. Мы знаем, что окружность касается в точке P(6;3). Это означает, что расстояние от центра окружности до точки P будет равно радиусу. Поскольку окружность касается точки P, радиус будет равен расстоянию от центра окружности до точки P.

Теперь, чтобы вычислить расстояние между центром окружности и точкой P, воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

где \(d\) - расстояние между двумя точками, \((x_1, y_1)\) - координаты первой точки, \((x_2, y_2)\) - координаты второй точки.

В нашем случае, центр окружности имеет координаты (x, y) и P(6, 3). Подставляя значения в формулу расстояния, получаем:

\[r = \sqrt{{(6 - x)^2 + (3 - y)^2}}\]

Здесь \(r\) - радиус окружности.

Так как окружность касается точки P, радиус будет равен расстоянию от центра до P:

\[r = \sqrt{{(6 - x)^2 + (3 - y)^2}}\]

Теперь у нас есть уравнение радиуса окружности. Осталось только найти координаты центра окружности.

Обратите внимание, что окружность касается только одной точки. Поэтому, если мы проведем линию от центра окружности до точки P, она будет перпендикулярна к касательной окружности в точке P.

Касательная к окружности в точке P будет иметь наклон равный вектору, соединяющему центр окружности и точку P. Это означает, что мы можем найти уравнение касательной к окружности и использовать перпендикулярность для нахождения центра окружности.

Вектор, соединяющий центр окружности и точку P, будет иметь компоненты \((6 - x, 3 - y)\), а его перпендикуляр будет иметь компоненты \((- (3 - y), 6 - x)\). Теперь мы можем использовать этот перпендикуляр для нахождения уравнения касательной к окружности.

Нахождение уравнения касательной к окружности в точке P:
\[y - y_1 = k(x - x_1)\]

где \(y_1, x_1\) - координаты точки касания, \(k\) - наклон линии (в нашем случае, перпендикулярный вектору от центра к точке P).

Подставим значения координат точки P в уравнение:
\[y - 3 = - (3 - y)(x - 6)\]

Теперь у нас есть уравнение касательной к окружности в точке P.

Итак, у нас есть два уравнения:
\[r = \sqrt{{(6 - x)^2 + (3 - y)^2}}\]
\[y - 3 = - (3 - y)(x - 6)\]

Если мы решим эти два уравнения одновременно, мы найдем значения координат центра окружности (x, y) и радиуса r.

Однако, здесь есть еще один метод, который дает нам окончательный ответ без необходимости решать уравнения.

Поскольку окружность касается точки P(6, 3), расстояние от точки P до центра окружности равно радиусу. То есть:

\[d = \sqrt{{(6 - x)^2 + (3 - y)^2}} = r\]

Таким образом, уравнение окружности, которая касается точки P(6, 3), выглядит следующим образом:

\[(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (6 - x)^2 + (3 - y)^2\]