Как переформулировать выражение: 2cos(a*sin(b)) + sin(a-b)/2cos(a*cos(b)) - cos(a-b

Чтобы переформулировать данное выражение, давайте вначале разберемся с отдельными его частями и потом объединим всё вместе.

1. Разложим \(a\sin(b)\) и \(a\cos(b)\) в ряды Тейлора. Рассмотрим первые несколько членов:
\(\sin(x) = x - \frac{{x^3}}{{3!}} + \frac{{x^5}}{{5!}} - \ldots\)
\(\cos(x) = 1 - \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^4}}{{4!}} - \ldots\)

2. Выразим каждое слагаемое в вашем выражении с использованием разложений:
\(2\cos(a\sin(b)) = 2\cos\left(a(b - \frac{{b^3}}{{3!}} + \frac{{b^5}}{{5!}} - \ldots)\right)\)
\(\frac{{\sin(a-b)}}{{2\cos(a\cos(b))}} = \frac{{a - b - \frac{{(a - b)^3}}{{3!}} + \frac{{(a - b)^5}}{{5!}} - \ldots}}{{2\cos\left(a\left(1 - \frac{{b^2}}{{2!}} + \frac{{b^4}}{{4!}} - \ldots\right)\right)}}\)

3. Продолжим раскладывать каждое слагаемое в ряды Тейлора и упростим выражение:
\(2\cos(a\sin(b)) = 2\cos(a(b - \frac{{b^3}}{{3!}} + \frac{{b^5}}{{5!}} - \ldots))\)
\(= 2\cos(ab)\)

\(\frac{{\sin(a-b)}}{{2\cos(a\cos(b))}} = \frac{{a - b - \frac{{(a - b)^3}}{{3!}} + \frac{{(a - b)^5}}{{5!}} - \ldots}}{{2\cos(a - a\frac{{b^2}}{{2!}} + a\frac{{b^4}}{{4!}} - \ldots)}}\)
\(= \frac{{a - b}}{{2}}\)

\(−\cos(a-b)\)

Теперь, когда у нас есть простые выражения для каждого из оригинальных слагаемых, мы можем объединить их:
\(2\cos(a\sin(b)) + \frac{{\sin(a-b)}}{{2\cos(a\cos(b))}} - \cos(a-b)\)
\(= 2\cos(ab) + \frac{{a - b}}{{2}} - \cos(a-b)\)

Таким образом, задача сводится к переформулированию выражения: \(2\cos(ab) + \frac{{a - b}}{{2}} - \cos(a-b)\)