Напишите уравнение для касательной к графику функции у= 2х+3/x^2-1 в точке с координатой х=2, пожалуйста. Также, если

Хорошо, я помогу вам с решением этой задачи. Для начала нам нужно найти производную данной функции, чтобы найти уравнение касательной в заданной точке. Давайте начнем с нахождения производной функции \(y = 2x + \frac{3}{{x^2 - 1}}\).

Чтобы найти производную, мы можем использовать правила дифференцирования. Продифференцируем функцию \(y\) по переменной \(x\), давайте приступим:

\[y" = (2x + \frac{3}{{x^2 - 1}})" \]

Для простоты расчетов, так как у нас есть два слагаемых в функции, мы можем продифференцировать их отдельно:

\[y" = (2x)" + (\frac{3}{{x^2 - 1}})" \]

Первое слагаемое: \((2x)"\)

Если вы помните правило дифференцирования для константы, то производная от константы \(a\) равна нулю. В данном случае, у нас константа \(2\), поэтому производная равна нулю:

\((2x)" = 2 \cdot (x)"\)

Второе слагаемое: \((\frac{3}{{x^2 - 1}})"\)

Для нахождения производной от \( \frac{3}{{x^2 - 1}} \), мы можем использовать правило дифференцирования для обратной функции. Это правило гласит, что если у нас есть функция \( f(x) \), то производная обратной функции \( g(x) = \frac{1}{{f(x)}} \) равна:

\[ (g(x))" = -\frac{{f"(x)}}{{(f(x))^2}} \]

В нашем случае, функция \( f(x) = x^2 - 1 \), поэтому можем записать:

\[ (g(x))" = -\frac{{(x^2 - 1)"}}{{(x^2 - 1)^2}} \]

Рассчитаем производную функции \(f(x) = x^2 - 1 \):

\((x^2 - 1)" = (x^2)" - (1)"\)

Для нахождения производной \( (x^2)" \), мы можем использовать правило дифференцирования для степенной функции. Это правило гласит, что производная от \( x^n \) равна \( n \cdot x^{n-1} \). В данном случае \( n = 2 \), поэтому имеем:

\((x^2)" = 2x^{2-1} = 2x\)

Так как производная от константы равна нулю, \( (1)" = 0 \).

Подставим полученные результаты обратно в формулу для производной второго слагаемого:

\[ (\frac{3}{{x^2 - 1}})" = -\frac{{2x}}{{(x^2 - 1)^2}} \]

Теперь сложим результаты для производной обоих слагаемых:

\[ y" = (2x)" + (\frac{3}{{x^2 - 1}})" = 2 \cdot (x)" + (-\frac{{2x}}{{(x^2 - 1)^2}}) \]

\[ y" = 2 + (-\frac{{2x}}{{(x^2 - 1)^2}}) \]

Теперь, когда мы обладаем производной функции \(y\), мы можем найти уравнение касательной в заданной точке \(x = 2\). Для этого используем формулу:

\[ y - y_1 = y"(x - x_1) \]

где \(y_1\) и \(x_1\) - координаты заданной точки.

Подставим значения в формулу:

\[ y - y_1 = y"(x - x_1) \]
\[ y - y_1 = (2 + (-\frac{{2x}}{{(x^2 - 1)^2}}))(x - x_1) \]
\[ y - y_1 = (2 + (-\frac{{2 \cdot 2}}{{(2^2 - 1)^2}}))(x - 2) \]

Теперь, учитывая, что \(x_1 = 2\) и \(y_1 = 2 \cdot 2 + \frac{3}{{2^2 - 1}}\), можем продолжить упрощение выражения:

\[ y - (2 \cdot 2 + \frac{3}{{2^2 - 1}}) = (-\frac{{8}}{{(2^2 - 1)^2}})(x - 2) \]

\[ y - (4 + \frac{3}{3}) = (-\frac{{8}}{{(3)^2}})(x - 2) \]

\[ y - (4 + 1) = (-\frac{{8}}{{9}})(x - 2) \]

\[ y - 5 = (-\frac{{8}}{{9}})(x - 2) \]

Это уравнение является уравнением касательной к графику функции \(y = 2x + \frac{3}{{x^2 - 1}}\) в точке с координатой \(x = 2\).

Надеюсь, это решение было информативным и понятным для вас.