Напишите уравнение для касательной к графику функции у= 2х+3/x^2-1 в точке с координатой х=2, пожалуйста. Также, если

Хорошо, я помогу вам с решением этой задачи. Для начала нам нужно найти производную данной функции, чтобы найти уравнение касательной в заданной точке. Давайте начнем с нахождения производной функции $y=2x+\frac{3}{x^2-1}$.

Чтобы найти производную, мы можем использовать правила дифференцирования. Продифференцируем функцию $y$ по переменной $x$, давайте приступим:

$$y"=(2x+\frac{3}{x^2-1})"$$

Для простоты расчетов, так как у нас есть два слагаемых в функции, мы можем продифференцировать их отдельно:

$$y"=(2x)"+(\frac{3}{x^2-1})"$$

Первое слагаемое: $(2x)"$

Если вы помните правило дифференцирования для константы, то производная от константы $a$ равна нулю. В данном случае, у нас константа $2$, поэтому производная равна нулю:

$(2x)"=2\cdot (x)"$

Второе слагаемое: $(\frac{3}{x^2-1})"$

Для нахождения производной от $\frac{3}{x^2-1}$, мы можем использовать правило дифференцирования для обратной функции. Это правило гласит, что если у нас есть функция $f(x)$, то производная обратной функции $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ равна:

$$(g(x))"=-\frac{f"(x)}{(f(x){)}^2}$$

В нашем случае, функция $f(x)=x^2-1$, поэтому можем записать:

$$(g(x))"=-\frac{(x^2-1)"}{(x^2-1{)}^2}$$

Рассчитаем производную функции $f(x)=x^2-1$:

$(x^2-1)"=(x^2)"-(1)"$

Для нахождения производной $(x^2)"$, мы можем использовать правило дифференцирования для степенной функции. Это правило гласит, что производная от $x^n$ равна $n\cdot x^{n-1}$. В данном случае $n=2$, поэтому имеем:

$(x^2)"=2x^{2-1}=2x$

Так как производная от константы равна нулю, $(1)"=0$.

Подставим полученные результаты обратно в формулу для производной второго слагаемого:

$$(\frac{3}{x^2-1})"=-\frac{2x}{(x^2-1{)}^2}$$

Теперь сложим результаты для производной обоих слагаемых:

$$y"=(2x)"+(\frac{3}{x^2-1})"=2\cdot (x)"+(-\frac{2x}{(x^2-1{)}^2})$$

$$y"=2+(-\frac{2x}{(x^2-1{)}^2})$$

Теперь, когда мы обладаем производной функции $y$, мы можем найти уравнение касательной в заданной точке $x=2$. Для этого используем формулу:

$$y-y_1=y"(x-x_1)$$

где $y_1$ и $x_1$ - координаты заданной точки.

Подставим значения в формулу:

$$y-y_1=y"(x-x_1)$$
$$y-y_1=(2+(-\frac{2x}{(x^2-1{)}^2}))(x-x_1)$$
$$y-y_1=(2+(-\frac{2\cdot 2}{(2^2-1{)}^2}))(x-2)$$

Теперь, учитывая, что $x_1=2$ и $y_1=2\cdot 2+\frac{3}{2^2-1}$, можем продолжить упрощение выражения:

$$y-(2\cdot 2+\frac{3}{2^2-1})=(-\frac{8}{(2^2-1{)}^2})(x-2)$$

$$y-(4+\frac{3}{3})=(-\frac{8}{(3{)}^2})(x-2)$$

$$y-(4+1)=(-\frac{8}{9})(x-2)$$

$$y-5=(-\frac{8}{9})(x-2)$$

Это уравнение является уравнением касательной к графику функции $y=2x+\frac{3}{x^2-1}$ в точке с координатой $x=2$.

Надеюсь, это решение было информативным и понятным для вас.