Надо доказать, что диагональ B1D куба перпендикулярна диагонали AC его основания

Для начала, давайте рассмотрим основание куба, которое я обозначу как ABCD. Зная, что это куб, все его грани равны друг другу, а углы между гранями равны 90 градусов.

Таким образом, стороны основания AB, BC, CD и DA равны между собой.

Теперь рассмотрим диагонали основания. Диагональ AC соединяет вершины A и C, а диагональ BD проходит через вершины B и D.

Чтобы доказать, что диагональ B1D перпендикулярна диагонали AC, мы должны показать, что два их направления взаимно перпендикулярны друг другу.

Из геометрии известно, что два вектора взаимно перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Таким образом, нам нужно доказать, что скалярное произведение вектора AD и вектора B1D равно нулю.

Представим основание куба ABCD в трехмерном пространстве. Вершина A имеет координаты (0, 0, 0), вершина B имеет координаты (a, 0, 0), вершина C имеет координаты (a, a, 0), а вершина D имеет координаты (0, a, 0).

Теперь посчитаем вектор AD. Вектор AD можно получить, вычтя координаты вершины A из координат вершины D:

\[\mathbf{AD} = (0, a, 0) - (0, 0, 0) = (0, a, 0).\]

Теперь посчитаем вектор B1D. Вектор B1D можно получить, вычтя координаты вершины B1 из координат вершины D:

\[\mathbf{B1D} = (a, a, a) - (a, 0, a) = (0, a, 0).\]

Обратите внимание, что вектора AD и B1D равны.

Теперь посчитаем скалярное произведение векторов AD и B1D:

\[\mathbf{AD} \cdot \mathbf{B1D} = (0, a, 0) \cdot (0, a, 0) = 0 \cdot 0 + a \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2.\]

Заметим, что скалярное произведение равно \(a^2\), но также мы знаем, что длина стороны куба равна \(a\). Таким образом, скалярное произведение равно квадрату длины стороны.

Таким образом,

\[\mathbf{AD} \cdot \mathbf{B1D} = a^2,\]

что не равно нулю при \(a \neq 0\).

Отсюда следует, что диагональ B1D куба не перпендикулярна диагонали AC его основания.