Можно ли доказать, что выражение a2+4a-9 может принимать только отрицательные значения?

Да, я могу предоставить вам подробное решение этой задачи.

Чтобы доказать, что выражение \(a^2 + 4a - 9\) может принимать только отрицательные значения, нам нужно установить, что оно всегда меньше нуля для любых значений переменной \(a\).

Давайте рассмотрим выражение \(a^2 + 4a - 9\) и попробуем упростить его. Раскроем скобки:

\[a^2 + 4a - 9\]

Теперь проведем несколько алгебраических преобразований. Мы хотим, чтобы это выражение было меньше нуля, поэтому мы можем переписать его в следующем виде:

\[a^2 + 4a - 9 < 0\]

Для дальнейших преобразований нам потребуется найти корни этого выражения. Найдем их с помощью квадратного уравнения \(a^2 + 4a - 9 = 0\).

Применим формулу дискриминанта \(\Delta = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - это коэффициенты из нашего уравнения. В данном случае:

\[a = 1, \quad b = 4, \quad c = -9\]

Вычислим дискриминант:

\[\Delta = (4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 16 + 36 = 52\]

Теперь мы можем применить формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

\[a_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad a_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Подставим значения коэффициентов и дискриминанта:

\[a_1 = \frac{-4 + \sqrt{52}}{2}, \quad a_2 = \frac{-4 - \sqrt{52}}{2}\]

Выполним вычисления:

\[a_1 = \frac{-4 + \sqrt{52}}{2} = \frac{-4 + 2\sqrt{13}}{2} = -2 + \sqrt{13}, \quad a_2 = \frac{-4 - \sqrt{52}}{2} = \frac{-4 - 2\sqrt{13}}{2} = -2 - \sqrt{13}\]

Теперь у нас есть значения корней квадратного уравнения.

Заметим, что выражение \(a^2 + 4a - 9\) является параболой ветвями вниз, так как коэффициент при \(a^2\) положительный (равный 1).

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если \(a < -2 + \sqrt{13}\), тогда \(a\) будет меньше обоих корней, и значение выражения \(a^2 + 4a - 9\) будет положительным.
2. Если \(-2 + \sqrt{13} < a < -2 - \sqrt{13}\), тогда \(a\) будет находиться между двумя корнями, и значение выражения \(a^2 + 4a - 9\) будет положительным.
3. Если \(a > -2 - \sqrt{13}\), тогда \(a\) будет больше обоих корней, и значение выражения \(a^2 + 4a - 9\) будет снова положительным.

Таким образом, мы видим, что выражение \(a^2 + 4a - 9\) может принимать как положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от значения переменной \(a\).

В итоге, мы не можем доказать, что данное выражение может принимать только отрицательные значения. Оно может иметь и положительные значения в некоторых случаях.