За сколько часов каждая из бригад может выполнить эту работу, работая самостоятельно, если одна из них потребует

Дано: время работы первой бригады на 48 часов меньше времени работы второй бригады.
Также известно, что эти две бригады могут закончить работу вместе за 32 часа.

Пусть время работы первой бригады будет обозначено как \(x\) часов.
Тогда время работы второй бригады будет равно \(x + 48\) часов.

Мы знаем, что две бригады вместе могут закончить работу за 32 часа.
Таким образом, мы можем составить уравнение:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 48} = \frac{1}{32}\)

Давайте решим это уравнение.
Умножим каждый член уравнения на \(32x(x + 48)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(32(x + 48) + 32x = x(x + 48)\)

Раскроем скобки:

\(32x + 1536 + 32x = x^2 + 48x\)

Соберем все члены уравнения влево:

\(x^2 + 48x - 64x - 1536 = 0\)

Упростим:

\(x^2 - 16x - 1536 = 0\)

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

В данном случае \(a = 1\), \(b = -16\), \(c = -1536\).
Подставим значения:

\(x = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1536)}}{2 \cdot 1}\)

Распишем дальше:

\(x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 6144}}{2}\)

\(x = \frac{16 \pm \sqrt{6400}}{2}\)

\(x = \frac{16 \pm 80}{2}\)

Теперь найдем два возможных значения \(x\):

\(x_1 = \frac{16 + 80}{2} = \frac{96}{2} = 48\) часов

\(x_2 = \frac{16 - 80}{2} = \frac{-64}{2} = -32\) часа

Поскольку мы решаем задачу в контексте времени работы, отрицательный результат не имеет смысла.
Таким образом, получаем, что первая бригада может выполнить работу за 48 часов, а вторая - за 48 + 48 = 96 часов.