Можете ли вы показать, что выражение 3^n+2 +2^3n кратно 5 для любого натурального числа?

Конечно! Чтобы доказать, что выражение \(3^n+2 + 2^{3n}\) кратно 5 для любого натурального числа \(n\), мы можем воспользоваться математическим методом — математической индукцией.

Шаг 1: Базовый шаг
Для \(n = 1\) выражение \(3^1+2 + 2^{3 \cdot 1} = 3+2+8 = 13\). Видно, что \(13\) не кратно 5. Поэтому базовый шаг доказан не будет.

Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что для некоторого \(k\), где \(k\) — натуральное число, выражение \(3^k+2 + 2^{3k}\) кратно 5.

Шаг 3: Индукционное предположение
Мы должны показать, что если предположение индукции верно для \(k\), то оно также верно для \(k+1\).

Рассмотрим выражение \(3^{k+1}+2 + 2^{3(k+1)}\):
\[3^{k+1}+2 + 2^{3(k+1)}\]
Мы можем записать \(3^{k+1}\) как \(3 \cdot 3^k\), а \(2^{3(k+1)}\) как \(2^3 \cdot 2^{3k}\):
\[3 \cdot 3^k + 2 + 2^3 \cdot 2^{3k}\]

Если мы раскладываем выражение \(3 \cdot 3^k + 2 + 2^3 \cdot 2^{3k}\) на две части:
\[3 \cdot 3^k + 2\]
и
\[2^3 \cdot 2^{3k}\]

Теперь рассмотрим первую часть: \(3 \cdot 3^k + 2\). Как мы предполагали в предположении индукции, \(3^k + 2 + 2^{3k}\) кратно 5. Обозначим это число как \(A\). Тогда первая часть равна \(3 \cdot A\).

Вторая часть состоит из \(2^3 \cdot 2^{3k}\), что эквивалентно \(8 \cdot 2^{3k}\). Обозначим это число как \(B\).

Теперь объединим \(A\) и \(B\) в одно выражение:
\[3 \cdot A + B\]
Так как \(A\) и \(B\) кратны 5 (согласно предположению индукции), и кратность является инвариантом умножения, то \(3 \cdot A + B\) также будет кратно 5.

Таким образом, мы доказали, что если для некоторого \(k\) выражение \(3^k+2 + 2^{3k}\) кратно 5, то оно будет кратно 5 и для \(k+1\).

Так как базовый шаг не выполняется, чтобы доказать это утверждение для любого натурального числа \(n\), мы не можем утверждать, что выражение \(3^n+2 +2^3n\) кратно 5 для любого натурального числа.