Какова высота правильного тетраэдра с ребром длиной 10 см? Дано: АВСD - правильный тетраэдр, АВ = 10 см Найти: высоту

Решение:

1) Правильный тетраэдр имеет четыре равных равнобедренных треугольника, образованных его гранями. Прямая ФV, проведенная из вершины V тетраэдра до середины ребра AB, является медианой треугольника ABC.

2) Поскольку треугольник ABF является прямоугольным, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины отрезка AF. Учитывая, что AB = 10 см и BF = AB / 2 (поскольку F - середина AB), мы можем записать:

\[AF^2 = AB^2 – BF^2 = 10^2 - \left(\frac{10}{2}\right)^2\]

\[AF^2 = 100 - \left(\frac{10}{2}\right)^2\]

\[AF^2 = 100 - 25 = 75\]

\[AF = \sqrt{75}\]

3) Поскольку точка О делит отрезок AO в соотношении 2:1, мы можем найти длину отрезка AO путем деления длины AF на 2 и умножения результата на 3:

\[AO = \frac{AF}{2} \cdot 3 = \frac{\sqrt{75}}{2} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{75}}{2}\]

4) Наконец, поскольку треугольник ADO прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины отрезка DO. Учитывая, что AD = AO и OD = AO / 3 (поскольку O делит AO в соотношении 2:1), мы можем записать:

\[DO^2 = AD^2 - OD^2 = AO^2 - \left(\frac{AO}{3}\right)^2\]

\[DO^2 = \left(\frac{3\sqrt{75}}{2}\right)^2 - \left(\frac{3\sqrt{75}}{2 \cdot 3}\right)^2\]

\[DO^2 = \frac{9 \cdot 75}{4} - \frac{9 \cdot 75}{4 \cdot 9}\]

\[DO^2 = \frac{9 \cdot 75}{4} - \frac{75}{4}\]

\[DO^2 = \frac{525 - 100}{4}\]

\[DO^2 = \frac{425}{4}\]

\[DO = \sqrt{\frac{425}{4}}\]

\[DO = \frac{\sqrt{425}}{2}\]

Таким образом, высота правильного тетраэдра с ребром длиной 10 см составляет \(\frac{\sqrt{425}}{2}\) см.