Комбинаторика! 1. Сколько способов выбрать председателя, казначея и секретаря из 12 членов правления кооператива?

1. Для решения этой задачи мы можем использовать правило умножения, так как выбор председателя, казначея и секретаря не зависит друг от друга и происходит последовательно.

Сначала мы выбираем председателя из 12 членов правления. У нас есть 12 возможных вариантов для этого выбора. Затем, после того как мы выбрали председателя, у нас остается 11 членов правления для выбора казначея. Для этого выбора у нас есть 11 возможных вариантов. После выбора казначея, нам остается 10 членов правления для выбора секретаря, и у нас есть 10 возможных вариантов для этого выбора.

Теперь мы можем применить правило умножения и умножить количество возможных вариантов для каждого шага выбора:
\(12 \times 11 \times 10 = 1320\)

Итак, есть 1320 способов выбрать председателя, казначея и секретаря из 12 членов правления кооператива.

2. В этой задаче нам нужно выбрать 12 человек для участия в соревнованиях из 15 человек. Здесь важно отметить, что порядок выбора не имеет значения, поскольку нам просто нужно выбрать 12 человек.

Для решения этой задачи мы можем использовать коэффициент биномиального разделения. Обозначим его как \(C(n, k)\), где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов для выбора.

В данном случае у нас есть \(n = 15\) человек и нам нужно выбрать \(k = 12\) человек. Мы можем использовать формулу для вычисления коэффициента биномиального разделения:
\[ C(15, 12) = \frac{15!}{12! \cdot (15-12)!} \]

Раскроем факториалы в числителе и знаменателе и вычислим значение:
\[ C(15, 12) = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!}{12! \cdot 3!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455 \]

Итак, есть 455 способов выбрать 12 человек для участия в соревнованиях из 15 человек.

3. В данной задаче нам нужно выбрать 3 авторучки и 2 блокнота из 5 авторучек и 6 блокнотов.

Мы можем использовать комбинаторный подход для решения этой задачи. Мы должны выбрать 3 авторучки из 5, что можно сделать с помощью коэффициента биномиального разделения \(C(5, 3)\), и выбрать 2 блокнота из 6, что можно сделать с помощью коэффициента биномиального разделения \(C(6, 2)\).

Мы можем использовать правило умножения, чтобы определить общее количество способов выбора авторучек и блокнотов:
\[ C(5, 3) \times C(6, 2) = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} \times \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} \]

Раскроем факториалы и выполним вычисления:
\[ C(5, 3) \times C(6, 2) = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 15 = 150 \]

Итак, есть 150 способов выбрать 3 авторучки и 2 блокнота для подарков.