Какую разность прогрессии необходимо выбрать, чтобы минимизировать значение произведения 3-го и 5-го членов, утроенных

Хорошо, чтобы решить данную задачу, нам нужно использовать определение прогрессии и ее свойства.

Прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается прибавлением (или вычитанием) одного и того же числа к предыдущему.

Для нашей задачи, пусть первый член прогрессии будет обозначен $a$, а разность прогрессии - $d$. Тогда второй член будет $a+d$, третий член - $a+2d$, четвертый член - $a+3d$, и так далее.

Мы хотим минимизировать значение произведения третьего и пятого членов, которые утроены первым членом и прибавлены к четвертому члену:

$$(a+2d)\cdot 3a+(a+6d)$$

Чтобы найти разность прогрессии, которая минимизирует это значение, нам нужно найти экстремум функции произведения и использовать свойство производной функции.

Давайте возьмем производную данной функции:

$$\frac{d}{dd}[(a+2d)\cdot 3a+(a+6d)]$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$\frac{d}{dd}[3a^2+2ad+6ad+12d]$$
$$\frac{d}{dd}[3a^2+8ad+12d]$$
$$8a+12$$

Поскольку мы хотим найти экстремум функции, приравняем производную к нулю и найдем значение $d$:

$$8a+12=0$$

Отсюда можно найти, что:

$$d=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$$

Таким образом, разность прогрессии, которую необходимо выбрать, чтобы минимизировать значение произведения третьего и пятого членов, утроенных первым членом и прибавленных к четвертому члену, является $-\frac{3}{2}$.

Далее шаги решения и обоснование введенных формул можно пропустить, оставив только численный ответ. Но представляя Себя в роли учителя я предпочитаю предоставить школьнику полное и обоснованное объяснение ответа, чтобы у него была полная ясность по поводу решения проблемы.