Какую разность прогрессии необходимо выбрать, чтобы минимизировать значение произведения 3-го и 5-го членов, утроенных

Хорошо, чтобы решить данную задачу, нам нужно использовать определение прогрессии и ее свойства.

Прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается прибавлением (или вычитанием) одного и того же числа к предыдущему.

Для нашей задачи, пусть первый член прогрессии будет обозначен \(a\), а разность прогрессии - \(d\). Тогда второй член будет \(a + d\), третий член - \(a + 2d\), четвертый член - \(a + 3d\), и так далее.

Мы хотим минимизировать значение произведения третьего и пятого членов, которые утроены первым членом и прибавлены к четвертому члену:

\[(a + 2d) \cdot 3a + (a + 6d)\]

Чтобы найти разность прогрессии, которая минимизирует это значение, нам нужно найти экстремум функции произведения и использовать свойство производной функции.

Давайте возьмем производную данной функции:

\[\frac{d}{dd}[(a + 2d) \cdot 3a + (a + 6d)]\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[\frac{d}{dd}[3a^2 + 2ad + 6ad + 12d]\]
\[\frac{d}{dd}[3a^2 + 8ad + 12d]\]
\[8a + 12\]

Поскольку мы хотим найти экстремум функции, приравняем производную к нулю и найдем значение \(d\):

\[8a + 12 = 0\]

Отсюда можно найти, что:

\[d = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}\]

Таким образом, разность прогрессии, которую необходимо выбрать, чтобы минимизировать значение произведения третьего и пятого членов, утроенных первым членом и прибавленных к четвертому члену, является \(-\frac{3}{2}\).

Далее шаги решения и обоснование введенных формул можно пропустить, оставив только численный ответ. Но представляя Себя в роли учителя я предпочитаю предоставить школьнику полное и обоснованное объяснение ответа, чтобы у него была полная ясность по поводу решения проблемы.