Какой общий знаменатель можно найти для дробей z2z2−y2 и z−y8z+8y? Какие из предложенных вариантов (вариантов) ответа

Для решения данной задачи находим общий знаменатель для дробей \( \frac{z^2}{z^2-y^2} \) и \( \frac{z-y^8}{z+8y} \). Для этого сначала представим каждую дробь в виде произведения двух множителей.

Для первой дроби \( \frac{z^2}{z^2-y^2} \) заметим, что в числителе имеется квадрат \( z \), а в знаменателе разность двух квадратов \( z^2-y^2 \). Такое выражение можно раскроить по формуле разности квадратов: \( z^2-y^2=(z+y)(z-y) \).

Для второй дроби \( \frac{z-y^8}{z+8y} \) также заметим, что в числителе имеется разность \( z-y^8 \), а в знаменателе сумма \( z+8y \). Оставляем это выражение в таком виде, так как формулы для сокращения и решения здесь не находятся.

Теперь мы можем записать наши дроби в следующем виде:

\[ \frac{z^2}{(z+y)(z-y)} \] и \[ \frac{z-y^8}{z+8y} \]

Для получения общего знаменателя для этих двух дробей, мы умножим знаменатели каждой дроби друг на друга. То есть, общий знаменатель будет равен произведению \( (z+y)(z-y) \cdot (z+8y) \). Раскроем скобки в этом произведении и упростим его:

\[ (z+y)(z-y) \cdot (z+8y) = (z^2-y^2)(z+8y) = z^3 + 8yz^2 - y^2z - 8y^3 \]

Таким образом, общий знаменатель для данных дробей равен \( z^3 + 8yz^2 - y^2z - 8y^3 \).

Теперь рассмотрим предложенные варианты ответа:

1. \( z^2-y^2 \) - Неверный ответ. Это лишь знаменатель первой дроби, не является общим знаменателем для обеих дробей.

2. \( (z+y)(z-y) \) - Неверный ответ. Этот вариант соответствует только знаменателю первой дроби.

3. \( z^3 + 8yz^2 - y^2z - 8y^3 \) - Верный ответ. Этот вариант соответствует найденному общему знаменателю для обоих дробей и является самым полным и подробным ответом.

Таким образом, правильный ответ на задачу - вариант 3: \( z^3 + 8yz^2 - y^2z - 8y^3 \).