1) Подтвердите, что треугольник является равнобедренным, если его медиана также является его высотой

Хорошо, давайте решим задачи по порядку.

1) Чтобы подтвердить, что треугольник является равнобедренным, если его медиана также является его высотой, давайте рассмотрим свойства равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике две стороны равны, а это означает, что две медианы также равны. Также, в равнобедренном треугольнике, медианы совпадают с высотами, проходящими из вершин равных сторон.

Теперь посмотрим, что происходит, когда треугольник имеет медиану, совпадающую с высотой. Если медиана и высота совпадают, это означает, что медиана должна проходить через вершину треугольника и делить противоположную сторону пополам. По свойству равнобедренных треугольников, это означает, что все стороны треугольника равны, и, следовательно, треугольник является равнобедренным.

2) Теперь давайте решим задачу с равнобедренным треугольником АВС. Мы знаем, что основание АС равностороннего треугольника АВС. Была проведена биссектриса ВК, которая равняется 7. Мы должны найти периметр треугольника АВС, если периметр треугольника АВК равен 18.

Поскольку треугольник АВК является равнобедренным, стороны АВ и ВК равны. Периметр равнобедренного треугольника АВК равен сумме длин сторон АВ и ВК, умноженной на 2. Если мы знаем, что периметр треугольника АВК равен 18, то это означает, что сумма длин сторон АВ и ВК равна 9.

Теперь мы знаем, что АВ = ВК и АВ + ВК = 9. Разделив сумму на 2, мы получим АВ = 4.5. Значит, сторона АВ треугольника АВС равна 4.5.

3) Для доказательства, что угол А равен углу С в четырехугольнике АВСД, где АВ = СД и АД = ВС, нам понадобятся свойства параллельных прямых и свойства равных углов.

Первое, заметим, что АВ = СД и АД = ВС означают, что стороны треугольника АВС равны сторонам треугольника СДА.

Теперь рассмотрим прямые АВ и СД. По определению параллельных прямых, если две прямые пересекают третью прямую так, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше 180 градусов, то эти прямые параллельны. В четырехугольнике АВСД, стороны АВ и СД являются одноименными сторонами, а прямая АД пересекает их. Поэтому мы можем заключить, что прямые АВ и СД параллельны.

Теперь рассмотрим углы А и С. Если две прямые параллельны, то соответствующие им углы одинаковы. Это означает, что угол А равен углу С.

4) Ну и наконец, давайте найдем АВ треугольника АВС, если медиана АМ перпендикулярна его биссектрисе ВК и ВС.

Перпендикулярность медианы АМ и биссектрисы ВК означает, что угол ВКМ прямой. Также, мы знаем, что в треугольнике АВС медиана делит сторону ВС на две равные части. Поэтому, если ВКМ - прямоугольный угол, то угол КMS также прямой.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник ВКМ. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны АМ треугольника АВС. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенузой является сторона ВК, а катетом - сторона КМ. Мы знаем, что ВК равна ВС/2, а КМ - это медиана треугольника. Поэтому мы можем записать уравнение: \((\frac{ВС}{2})^2 + КМ^2 = АМ^2\).

Теперь, если мы знаем, что ВК = 7 и ВС = 14 (так как ВС = 2*ВК), то мы можем подставить эти значения в уравнение и решить его относительно АМ. По окончании решения, мы найдем АМ, которая является медианой треугольника АВС.

Очень важно понимать, что ответ будет зависеть от значений ВК и ВС, поэтому, чтобы получить точный ответ, необходимо знать эти значения.

Это все, что касается решения задач. Если у вас возникли еще вопросы или вам нужна помощь в другом математическом вопросе, пожалуйста, пишите!