Какой многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами имеет корни

Question

Алгебра: Какой многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами имеет корни а1=2 а2=3-i второй кратности и а3=-i второй кратности?

Yuliya_6168 · Accepted Answer

Для того чтобы найти многочлен наименьшей степени с данными корнями, мы можем использовать теорему о кратных корнях для многочлена.

Согласно этой теореме, если у многочлена есть корень \(a\) кратности \(k\), то многочлен можно разложить на множители следующим образом:
\[
P(x) = (x-a)^k Q(x)
\]
где \(Q(x)\) - некоторый многочлен.

У нас дано, что корень \(a_1 = 2\) имеет вторую кратность, а корни \(a_2 = 3 - i\) и \(a_3 = -i\) также имеют вторую кратность.

Давайте начнем с корня \(a_1 = 2\). Мы знаем, что этот корень имеет вторую кратность, поэтому:
\[
(x - 2)^2
\]
делится на \(P(x)\).

Теперь давайте перейдем к корню \(a_2 = 3 - i\). Поскольку этот корень также имеет вторую кратность, то и его соответствующий множитель должен делить \(P(x)\) второй степени. Мы можем представить этот множитель как:
\[
(x - (3 - i))^2 = ((x - 3) + i)^2
\]
Таким же образом, для корня \(a_3 = -i\) получим:
\[
(x - (-i))^2 = x^2 + 1
\]

Теперь мы можем составить многочлен наименьшей степени, учитывая все эти корни и их кратности.

Умножим все эти множители вместе:
\[
P(x) = (x - 2)^2 ((x - 3) + i)^2 (x^2 + 1)
\]

Для удобства могу упростить этот многочлен, открыв двойные скобки. Но, пожалуйста, укажите, если хотите, чтобы я это сделал.

Какой многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами имеет корни а1=2 а2=3-i второй кратности и а3=-i

Yuliya_6168

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!