Каковы длины оснований равнобедренной трапеции, при условии, что ее острый угол равен 45°, высота равна 5 дм, а сумма

Чтобы найти длины оснований равнобедренной трапеции, нужно использовать свойство равнобедренных трапеций. Оно гласит, что основания равнобедренной трапеции равны между собой.

Дано, что острый угол равен 45° и высота равна 5 дм. Пусть основания трапеции обозначены буквами \(a\) и \(b\), где \(a\) - это основание большей длины, а \(b\) - основание меньшей длины.

Мы знаем, что угол между боковой стороной трапеции и ее высотой равен 45°. Так как трапеция является равнобедренной, то и угол между боковой стороной и основанием трапеции также равен 45°. Поэтому получаем следующую систему уравнений:
\[
\begin{align*}
\tan(45^\circ) &= \frac{5}{\frac{a - b}{2}} \\
\tan(45^\circ) &= \frac{5}{\frac{a + b}{2}}
\end{align*}
\]

Мы используем тангенс угла 45°, так как он равен единице. Раскроем скобки и перенесем все в левую часть уравнений, чтобы получить:
\[
\begin{align*}
\frac{\frac{5}{\frac{a - b}{2}} - 1}{\frac{5}{\frac{a - b}{2}} + 1} &= 0 \\
\frac{\frac{5}{\frac{a + b}{2}} - 1}{\frac{5}{\frac{a + b}{2}} + 1} &= 0
\end{align*}
\]

Упростим уравнения, умножив числитель и знаменатель дробей на величину, обратную знаменателю:
\[
\begin{align*}
\frac{\frac{10}{a - b} - \frac{a - b}{a - b}}{\frac{10}{a - b} + \frac{a - b}{a - b}} &= 0 \\
\frac{\frac{10}{a + b} - \frac{a + b}{a + b}}{\frac{10}{a + b} + \frac{a + b}{a + b}} &= 0
\end{align*}
\]

Упростим дроби и умножим обе части уравнений на величину знаменателя:
\[
\begin{align*}
10 - (a - b) &= 0 \\
10 - (a + b) &= 0
\end{align*}
\]

Раскроем скобки:
\[
\begin{align*}
10 - a + b &= 0 \\
10 - a - b &= 0
\end{align*}
\]

Перенесем переменные на одну сторону уравнений:
\[
\begin{align*}
b &= a - 10 \\
a &= 10 + b
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть два уравнения, где \(a\) и \(b\) связаны между собой. Найдем их значения, подставив второе уравнение в первое:
\[
\begin{align*}
a &= 10 + (a - 10) \\
a &= a
\end{align*}
\]

Оба уравнения выполняются, значит, значения \(a\) и \(b\) могут быть любыми, при условии, что они связаны соотношением \(b = a - 10\).

Таким образом, длины оснований равнобедренной трапеции могут быть любыми, удовлетворяющими условию \(b = a - 10\).