Какой корень имеет уравнение x=−3x+4/x−3? Если у уравнения есть несколько корней, укажите в ответе только наименьший

Чтобы найти корень уравнения \(x = -3x + \frac{4}{x - 3}\), мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Уберем дробь из уравнения, умножив обе части на \(x - 3\):

\((x - 3)(x) = -3x(x - 3) + 4\)

Раскрываем скобки:

\(x^2 - 3x = -3x^2 + 9x + 4\)

Шаг 2: Перенесем все термины на одну сторону уравнения:

\(x^2 - 3x + 3x^2 - 9x - 4 = 0\)

Сводим подобные термины:

\(4x^2 - 12x - 4 = 0\)

Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой корней:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

В данном уравнении коэффициенты равны:

\(a = 4\), \(b = -12\), \(c = -4\)

Подставляем значения в формулу:

\(x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4)}}{2 \cdot 4}\)

Выполняем вычисления:

\(x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 64}}{8}\)

\(x = \frac{12 \pm \sqrt{208}}{8}\)

Шаг 4: Упростим полученное выражение. Для этого найдем значение под корнем:

\(\sqrt{208}\) не является целым числом, но мы можем его упростить. Разложим 208 на простые множители:

\(208 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13\)

Выделим квадраты из разложения:

\(208 = 2^4 \cdot 13\)

Теперь мы можем выразить корень из 208:

\(\sqrt{208} = \sqrt{2^4 \cdot 13} = 2^2 \cdot \sqrt{13} = 4\sqrt{13}\)

Подставим значение под корнем в выражение для \(x\):

\(x = \frac{12 \pm 4\sqrt{13}}{8}\)

Шаг 5: Упростим выражение для \(x\):

Разделим числитель и знаменатель на 4:

\(x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\)

Теперь у нас есть два значения для \(x\):

\(x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\)
\(x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}\)

Мы искали наименьший корень, поэтому ответом является \(x_2\):

\(x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}\)

Таким образом, наименьший корень уравнения \(x = -3x + \frac{4}{x - 3}\) равен \(\frac{3 - \sqrt{13}}{2}\).