Какой будет последняя цифра десятичной записи данной суммы, если Олег назвал натуральное число m, а Андрей вычислил

Данная задача связана с определением последней цифры суммы некоторых чисел, возводимых в степень. Для решения данной задачи необходимо воспользоваться свойствами остатков от деления на 10.

Прежде всего, рассмотрим случай, когда m нечётное число. Заметим, что любое нечётное число, возведённое в нечётную степень, даёт нечётный результат. Следовательно, сумма чисел \(1^m + 2^m + 998^m + 999^m\) также будет нечётная.

Теперь рассмотрим случай, когда m чётное число. В этом случае, необходимо рассмотреть остатки от деления каждого слагаемого на 10.

1) Делаем вывод остатка от деления \(1^m\) на 10:
- Возведение числа 1 в любую степень даст результат 1.
- Остаток от деления 1 на 10 равен 1.

2) Делаем вывод остатка от деления \(2^m\) на 10:
- Рассмотрим остатки от деления степеней числа 2 на 10:
- \(2^1 \equiv 2 \mod 10\)
- \(2^2 \equiv 4 \mod 10\)
- \(2^3 \equiv 8 \mod 10\)
- \(2^4 \equiv 6 \mod 10\)
- Очевидно, что остатки повторяются с периодом 4: 2, 4, 8, 6.
- Если m делится на 4, то остаток от деления \(2^m\) на 10 будет равен 6.
- Если m не делится на 4, то остаток от деления \(2^m\) на 10 будет равен остатку от деления \(2^{m \mod 4}\) на 10.

3) Делаем вывод остатка от деления \(998^m\) на 10:
- Рассмотрим остатки от деления степеней числа 998 на 10:
- \(998^1 \equiv 8 \mod 10\)
- \(998^2 \equiv 4 \mod 10\)
- \(998^3 \equiv 2 \mod 10\)
- \(998^4 \equiv 6 \mod 10\)
- Очевидно, что остатки повторяются с периодом 4: 8, 4, 2, 6.
- Если m делится на 4, то остаток от деления \(998^m\) на 10 будет равен 6.
- Если m не делится на 4, то остаток от деления \(998^m\) на 10 будет равен остатку от деления \(998^{m \mod 4}\) на 10.

4) Делаем вывод остатка от деления \(999^m\) на 10:
- Рассмотрим остатки от деления степеней числа 999 на 10:
- \(999^1 \equiv 9 \mod 10\)
- \(999^2 \equiv 1 \mod 10\)
- \(999^3 \equiv 9 \mod 10\)
- \(999^4 \equiv 1 \mod 10\)
- Очевидно, что остатки повторяются с периодом 2: 9, 1.
- Если m делится на 2, то остаток от деления \(999^m\) на 10 будет равен 1.
- Если m не делится на 2, то остаток от деления \(999^m\) на 10 будет равен остатку от деления \(999^{m \mod 2}\) на 10.

Теперь собираем все выводы вместе. Если m чётное число, то получаем:

\[1^m + 2^m + 998^m + 999^m = 1 + 6 + 6 + 1 = 14 \equiv 4 \mod 10\]

Если m нечётное число, то:

\[1^m + 2^m + 998^m + 999^m \equiv 1 + 1 + 1 + 9 \equiv 12 \equiv 2 \mod 10\]

Таким образом, последняя цифра десятичной записи данной суммы будет равна 4 (если m чётное) или 2 (если m нечётное).