Какой будет четвертый член арифметической прогрессии, где сумма всех членов вне зависимости от их количества будет

Для решения данной задачи, начнем с определения арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа, которое называется разностью прогрессии.

Пусть первый член последовательности арифметической прогрессии равен \(a\), а разность прогрессии равна \(d\). Тогда любой \(n\)-й член прогрессии будет равен \(a + (n-1)d\).

Теперь рассмотрим сумму всех членов арифметической прогрессии. Пусть число членов прогрессии равно \(n\). Сумма членов данной прогрессии можно выразить следующей формулой:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d)\]

Также из условия задачи известно, что сумма всех членов прогрессии должна быть равна утроенному квадрату числа членов прогрессии, то есть:

\[S = 3n^2\]

Мы хотим найти четвертый член арифметической прогрессии, поэтому \(n = 4\). Подставим это значение в уравнение для суммы и решим его относительно неизвестных \(a\) и \(d\):

\[3n^2 = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d)\]

Подставив \(n = 4\):

\[3 \cdot 4^2 = \frac{4}{2} \cdot (2a + (4-1)d)\]

Упростим выражение:

\[48 = 2 \cdot (2a + 3d)\]

\[24 = 2a + 3d\]

\[2a + 3d = 24\]

Теперь нам нужно найти четвертый член арифметической прогрессии, поэтому заменим \(n\) на 4 в формуле для общего члена:

\(a_4 = a + (4-1)d\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[
\begin{cases}
2a + 3d = 24 \\
a + 3d = a_4
\end{cases}
\]

Решим эту систему уравнений. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от \(a\):

\((2a + 3d) - (a + 3d) = 24 - a_4\)

Упростим:

\(a = 24 - a_4\)

Теперь, зная значение \(a\), подставим его во второе уравнение:

\(24 - a_4 + 3d = a_4\)

Раскроем скобки и упростим:

\(24 + 3d = 2a_4\)

Разделим оба выражения на 2:

\(12 + \frac{3}{2}d = a_4\)

Таким образом, четвертый член арифметической прогрессии будет равен \(12 + \frac{3}{2}d\), где \(d\) является разностью арифметической прогрессии.