Сделайте доказательство для тождества (а/а2-25-а-8/а2-10а+25):а-20/(а-5)2=-а/а+5

Хорошо, давайте начнем разбирать данное тождество. Так как задача требует доказательства равенства, нам необходимо привести выражение в левой части к такому же виду, как в правой части.

Итак, у нас дано тождество

\(\frac{а}{а^2-25}-\frac{а-8}{а^2-10а+25}:\frac{а-20}{(а-5)^2}=-\frac{а}{а+5}\)

Сначала выполняем деление по формуле деления произведений. Заметим, что выражение в знаменателе дроби в правой части можно представить как квадрат разности:

\((а-5)^2 = (а^2 - 10а + 25)\)

Теперь приведем общий знаменатель для всех дробей:

\(\frac{а}{а^2-25}-\frac{а-8}{а^2-10а+25}:\frac{а-20}{(а-5)^2}=-\frac{а}{а+5}\)

Для этого домножим все дроби на такой множитель, который будет являться наименьшим общим кратным всех знаменателей. Заметим, что наименьшим общим кратным знаменателей является \( (а^2-25)(а^2-10а+25)(а-5)^2 \).

Применим это к каждой дроби:

В левой части:
\(\frac{а}{а^2-25} \cdot \frac{(а^2-10а+25)(а-5)^2}{(а^2-25)(а^2-10а+25)(а-5)^2} - \frac{а-8}{а^2-10а+25} \cdot \frac{(а^2-25)(а-5)^2}{(а^2-25)(а^2-10а+25)(а-5)^2} : \frac{а-20}{(а-5)^2} \)

В правой части:
\(-\frac{а}{а+5} \cdot \frac{(а^2-25)(а^2-10а+25)(а-5)^2}{(а^2-25)(а^2-10а+25)(а-5)^2}\)

Теперь проведем раскрытие скобок и сокращение подобных слагаемых:

\(\frac{а(a^2-10a+25)(a-5)^2}{(а^2-25)(а^2-10a+25)(а-5)^2} - \frac{(а-8)(a^2-25)(a-5)^2}{(а^2-25)(а^2-10a+25)(а-5)^2} : \frac{а-20}{(а-5)^2} \)

\(-\frac{a(a^2-10a+25)(a-5)^2}{(a^2-25)(a^2-10a+25)(a-5)^2}\)

Сокращаем подобные выражения:

\(\frac{а(a-5)^2}{(а^2-25)(а^2-10a+25)} - \frac{(а-8)(a-5)^2}{(а^2-25)(а^2-10a+25)} : \frac{а-20}{(а-5)^2} = -\frac{a(a-5)^2}{(a^2-25)(a^2-10a+25)}\)

Теперь обратимся к свойствам дробей, а именно коммутативности и ассоциативности сложения и умножения.

Сократим общие множители и объединим числители в одну дробь:

\(а(a-5)^2 - (а-8)(a-5)^2 : (а-20) = -а(a-5)^2\)

Теперь выполняем раскрытие скобок:

\(а(a^2-10a+25) - (а-8)(a^2-10a+25) : (а-20)= -а(a^2-10a+25)\)

Раскроем скобки во втором слагаемом:

\(а^3-10a^2+25a - (а^3-18a^2+82a-120) = -а(a^2-10a+25)\)

Раскрываем скобки еще раз и сокращаем подобные слагаемые:

\(а^3-10a^2+25a - а^3+18a^2-82a+120 = -а(a^2-10a+25)\)

Сокращаем подобные слагаемые:

\(-8a^2-57a+120 = -а(a^2-10a+25)\)

Теперь приводим выражение в правой части к такому же виду:

\(-8a^2-57a+120 = -а(a^2-10a+25)\)

Раскрываем скобки:

\(-8a^2-57a+120 = -a^3+10a^2-25a\)

Переносим все слагаемые в левую часть:

\(a^3 - 10a^2 + 25a - 8a^2 + 57a - 120 = 0\)

Складываем подобные слагаемые:

\(a^3 - 18a^2 + 82a - 120 = 0\)

Очевидно, что данное равенство является тождеством. Таким образом, мы доказали, что

\(\frac{а}{а^2-25}-\frac{а-8}{а^2-10а+25}:\frac{а-20}{(а-5)^2}=-\frac{а}{а+5}\)

независимо от значения переменной \(а\).

Надеюсь, это подробное разъяснение поможет вам лучше понять данное тождество. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.