Каковы значения m, при которых прямая y=m пересекает график функции y=x^2+13x-3|x+7|+42 ровно три раза?

Для начала, давайте попробуем найти точки пересечения прямой \(y = m\) и графика функции \(y = x^2 + 13x - 3|x + 7| + 42\). Чтобы это сделать, мы приравняем их выражения и решим полученное уравнение.

$$
x^2 + 13x - 3|x + 7| + 42 = m
$$

Теперь, чтобы приступить к решению, нужно разобрать уравнение на случаи с разными интервалами значений \(x\).

1. Когда \(x \leq -7\):
В этом случае выражение \(|x + 7|\) будет принимать значение \(-(x + 7)\), и уравнение примет вид:

$$
x^2 + 13x - 3(-(x + 7)) + 42 = m
$$

$$
x^2 + 13x + 3x + 21 + 42 = m
$$

$$
x^2 + 16x + 63 = m
$$

2. Когда \(-7 \leq x < 0\):
В этом случае \(|x + 7|\) принимает значение \(-(x + 7)\), и уравнение будет иметь вид:

$$
x^2 + 13x - 3(-(x + 7)) + 42 = m
$$

3. Когда \(x \geq 0\):
В этом случае \(|x + 7|\) становится равным \((x + 7)\), и уравнение примет вид:

$$
x^2 + 13x - 3(x + 7) + 42 = m
$$

Затем мы должны рассмотреть количество пересечений для каждого случая.

Для первого случая, \(x^2 + 16x + 63\), это квадратное уравнение, и число его корней зависит от значения \(m\). Если дискриминант \(D\) положителен, то будет два пересечения, если нулевой, то одно, если отрицательный - ни одного.

\(D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4\).

Так как \(D > 0\), то у нас будут два пересечения.

Аналогично, нам нужно проанализировать количество пересечений для второго и третьего случаев. Таким образом, для каждого из них нам нужно рассмотреть два случая: \(|x+7|\) равно \(-(x+7)\) или \((x+7)\).

Объединим все полученные результаты:

1. Когда \(x \leq -7\):
Два пересечения: \(x^2 + 16x + 63 = m\)

2. Когда \(-7 \leq x < 0\):
Два пересечения: \(x^2 + 13x - 3(-(x + 7)) + 42 = m\) и \(x^2 + 13x - 3(x + 7) + 42 = m\)

3. Когда \(x \geq 0\):
Два пересечения: \(x^2 + 13x - 3(x + 7) + 42 = m\)

Таким образом, мы можем получить значения \(m\) при которых прямая \(y = m\) пересекает график функции ровно три раза, решив каждое из уравнений для различных случаев \(x\). Пожалуйста, свяжитесь со мной, если вам нужна помощь при решении уравнений в каждом из этих случаев.