Чему равно sinb*cosb+2/5cos^2b+1, если tg=2?

Давайте посмотрим на задачу пошагово.

Задача: Найти значение выражения \(\sin b \cdot \cos b + \frac{2}{5} \cdot \cos^2 b + 1\), если \(\tan b = 2\).

Шаг 1: Выразим \(\cos b\) через \(\tan b\).
Используя определение тангенса \(\tan b = \frac{\sin b}{\cos b}\), можно выразить \(\cos b\) следующим образом:
\(\cos b = \frac{\sin b}{\tan b}\).

Шаг 2: Подставим полученное выражение для \(\cos b\) в исходное выражение.
\(\sin b \cdot \cos b + \frac{2}{5} \cdot \cos^2 b + 1 = \sin b \cdot \left(\frac{\sin b}{\tan b}\right) + \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{\sin b}{\tan b}\right)^2 + 1\).

Шаг 3: Заменим значение \(\tan b\) на 2.
Поскольку задано, что \(\tan b = 2\), подставим это значение в исходное выражение:
\(\sin b \cdot \left(\frac{\sin b}{2}\right) + \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{\sin b}{2}\right)^2 + 1\).

Шаг 4: Упростим полученное выражение.
\(\sin b \cdot \left(\frac{\sin b}{2}\right) + \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{\sin b}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{2} \cdot \sin^2 b + \frac{1}{10} \cdot \sin^2 b + 1\).

Шаг 5: Объединим подобные слагаемые.
\(\frac{1}{2} \cdot \sin^2 b + \frac{1}{10} \cdot \sin^2 b + 1 = \frac{6}{10} \cdot \sin^2 b + 1\).

Шаг 6: Заменим \(\sin^2 b\) на \(1 - \cos^2 b\) (используя тождество \(\sin^2 b + \cos^2 b = 1\)).
\(\frac{6}{10} \cdot \sin^2 b + 1 = \frac{6}{10} \cdot (1 - \cos^2 b) + 1\).

Шаг 7: Упростим полученное выражение.
\(\frac{6}{10} \cdot (1 - \cos^2 b) + 1 = \frac{6}{10} - \frac{6}{10} \cdot \cos^2 b + 1\).

Шаг 8: Объединим подобные слагаемые.
\(\frac{6}{10} - \frac{6}{10} \cdot \cos^2 b + 1 = \frac{16}{10} - \frac{6}{10} \cdot \cos^2 b\).

Шаг 9: Заменим \(\cos^2 b\) на \(1 - \sin^2 b\) (используя тождество \(\sin^2 b + \cos^2 b = 1\)).
\(\frac{16}{10} - \frac{6}{10} \cdot \cos^2 b = \frac{16}{10} - \frac{6}{10} \cdot (1 - \sin^2 b)\).

Шаг 10: Упростим полученное выражение.
\(\frac{16}{10} - \frac{6}{10} \cdot (1 - \sin^2 b) = \frac{16}{10} - \frac{6}{10} + \frac{6}{10} \cdot \sin^2 b\).

Шаг 11: Объединим подобные слагаемые.
\(\frac{16}{10} - \frac{6}{10} + \frac{6}{10} \cdot \sin^2 b = \frac{10}{10} + \frac{6}{10} \cdot \sin^2 b\).

Шаг 12: Упростим дробь.
\(\frac{10}{10} + \frac{6}{10} \cdot \sin^2 b = 1 + \frac{3}{5} \cdot \sin^2 b\).

Таким образом, мы получили ответ: \(\sin b \cdot \cos b + \frac{2}{5} \cdot \cos^2 b + 1 = 1 + \frac{3}{5} \cdot \sin^2 b\), если дано, что \(\tan b = 2\).