Каковы размеры сторон прямоугольника с периметром 18 см, чтобы его площадь была максимальной?

Хорошо, давайте решим данную задачу.

Чтобы площадь прямоугольника была максимальной, нам нужно найти такие размеры сторон, которые удовлетворяют данное условие и максимизируют площадь. Для этого мы воспользуемся математическими знаниями о периметре и площади прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны \(x\) и \(y\). Тогда по определению периметра имеем уравнение \(2x + 2y = 18\). Поскольку периметр равен сумме длин всех сторон, мы умножаем стороны на 2.

Теперь давайте выразим одну из сторон через другую, чтобы свести задачу к формуле площади. Для этого из уравнения периметра выразим \(y\).

\[
2x + 2y = 18 \Rightarrow 2y = 18 - 2x \Rightarrow y = 9 - x
\]

Мы получили выражение для \(y\) через \(x\).

Теперь воспользуемся формулой площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \(S = x \cdot y\). Подставим найденное значение \(y\) в формулу площади:

\[
S = x \cdot (9 - x) = 9x - x^2
\]

У нас теперь есть функция площади, зависящая от одной переменной \(x\). Чтобы найти максимум этой функции, возьмем производную от \(S\) по \(x\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки функции:

\[
\frac{{dS}}{{dx}} = 9 - 2x
\]

\[
9 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{9}{2} = 4.5
\]

Таким образом, мы нашли, что критическая точка функции \(S\) находится при \(x = 4.5\).

Давайте проверим, что это действительно точка максимума, а не минимума. Для этого возьмем вторую производную по \(x\):

\[
\frac{{d^2S}}{{dx^2}} = -2
\]

Поскольку вторая производная отрицательна, это означает, что критическая точка \(x = 4.5\) является точкой максимума.

Теперь найдем значение \(y\) для этой точки, подставив \(x = 4.5\) в уравнение \(y = 9 - x\):

\[
y = 9 - 4.5 = 4.5
\]

Таким образом, размеры сторон прямоугольника с максимальной площадью равны \(x = 4.5\) см и \(y = 4.5\) см. При таких размерах площадь прямоугольника будет максимальной.

Надеюсь, это решение было понятно для вас. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!