Каковы площадь боковой поверхности и полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если радиус окружности

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Начнем с определения. Правильная четырехугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является квадратом, и все ее грани являются равнобедренными треугольниками.

2. У нас дано, что радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, равен 3 см. Поскольку это правильная четырехугольная пирамида, каждая сторона основания также является радиусом этой окружности.

3. Теперь нам нужно найти длину стороны основания пирамиды. Для этого возьмем одну сторону основания и применим теорему Пифагора. Пусть сторона основания равна \(a\), тогда длина радиуса окружности (3 см) будет половиной этой стороны. Таким образом, у нас получается следующее уравнение:

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 3^2\]

4. Решив это уравнение, найдем значение стороны основания \(a\).

\[a^2 = 4 \cdot 3^2\]
\[a^2 = 36\]
\[a = \sqrt{36}\]
\[a = 6\]

Таким образом, сторона основания пирамиды равна 6 см.

5. Теперь мы можем рассчитать площадь боковой поверхности пирамиды. При правильной четырехугольной пирамиде, площадь каждой боковой грани равна половине произведения периметра основания на высоту. Поскольку у нас равнобедренные треугольники, периметр основания будет равен \(4 \cdot a\). Высота пирамиды не дана, поэтому ее нам нужно найти.

6. Чтобы найти высоту пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора. Высота, основание и радиус окружности связаны следующим образом: \(h^2 = a^2 - r^2\), где \(h\) - высота, \(a\) - сторона основания и \(r\) - радиус окружности.

7. Подставим значения, которые у нас уже есть:

\(h^2 = 6^2 - 3^2\)
\(h^2 = 36 - 9\)
\(h^2 = 27\)
\(h = \sqrt{27}\)
\(h = 3\sqrt{3}\)

Таким образом, высота пирамиды равна \(3\sqrt{3}\) см.

8. Подставим значения стороны основания и высоты в формулу для площади боковой поверхности пирамиды:

Площадь боковой поверхности = \(\frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{высота}\)
Площадь боковой поверхности = \(\frac{1}{2} \times (4 \times 6) \times (3\sqrt{3})\)
Площадь боковой поверхности = \(12\sqrt{3}\) см²

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна \(12\sqrt{3}\) см².

9. Теперь рассчитаем полную площадь поверхности пирамиды. Полная площадь поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания. Поскольку основание - квадрат, его площадь можно найти, возводя сторону в квадрат.

Площадь основания = \(a^2\)
Площадь основания = \(6^2\)
Площадь основания = 36 см²

Полная площадь поверхности = Площадь боковой поверхности + Площадь основания
Полная площадь поверхности = \(12\sqrt{3} + 36\) см²

Таким образом, полная площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна \(12\sqrt{3} + 36\) см².

Я надеюсь, что это пошаговое решение помогло вам понять, как найти площадь боковой поверхности и полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!