Каково скалярное произведение векторов BA и BC, если треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC и известны

Для решения этой задачи, нам нужно определить вектор BA и вектор BC, а затем найти их скалярное произведение.

Пусть точки A, B и C соответственно обозначают вершины треугольника ABC. Сначала найдем векторы BA и BC.

Вектор BA обозначает направление движения от точки B к точке A. Мы можем найти его вычитанием координат вектора начала A из координат вектора конца B.

Так как треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC, то отрезки BA и BC равны. Это означает, что мы можем найти BA, используя значение BC.

Так как BC = 4, то вектор BC можно представить как \(\vec{BC} = 4 \cdot \vec{u}\), где \(\vec{u}\) - это единичный вектор в направлении BC.

Теперь найдем вектор BA, используя вышеуказанную информацию:

\(\vec{BA} = \vec{BC} = 4 \cdot \vec{u}\)

Теперь найдем единичный вектор \(\vec{u}\). Для этого мы можем использовать тригонометрию.

Известно, что угол A равен 67,5 градусов. Мы можем использовать это значение, чтобы найти соответствующие косинус и синус:

\(\cos(\angle A) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{{BC}}{{AC}}\)

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AC равно BC. Подставив значение BC = 4, мы получим:

\(\cos(67,5^\circ) = \frac{4}{AC}\)

Далее, решим это уравнение относительно AC:

\(AC = \frac{4}{\cos(67,5^\circ)}\)

Используя тригонометрические таблицы или калькулятор, мы можем найти значение косинуса \(67,5^\circ\). Подставив это значение, мы найдем:

\(AC = \frac{4}{0,3827} = 10,45\)

Теперь у нас есть значения векторов BA и BC:

\(\vec{BA} = 4 \cdot \vec{u}\) и \(\vec{BC} = 4 \cdot \vec{u}\)

Так как треугольник ABC равнобедренный, векторы BA и BC равны. Поэтому мы можем записать:

\(\vec{BA} = 4 \cdot \vec{u}\) и \(\vec{BC} = 4 \cdot \vec{u}\)

Теперь, чтобы найти скалярное произведение векторов BA и BC, мы можем использовать формулу:

\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |BA| \cdot |BC| \cdot \cos(\theta)\)

где |BA| и |BC| - длины векторов BA и BC соответственно, а \(\theta\) - угол между векторами BA и BC.

Так как векторы BA и BC равны, и значение BC равно 4, мы получаем:

\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |BA| \cdot 4 \cdot \cos(\theta)\)

Поскольку мы рассматриваем скалярное произведение, его значение не будет зависеть от выбранного начала вектора. Поэтому мы можем выбрать начало вектора в точке B.

Теперь, чтобы найти длину вектора BA, мы можем использовать теорему Пифагора:

\(BA = \sqrt{AC^2 - BC^2}\)

Подставив известные значения, мы найдем:

\(BA = \sqrt{10,45^2 - 4^2} \approx 9,209\)

Таким образом, скалярное произведение векторов BA и BC равно:

\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} \approx 9,209 \cdot 4 \cdot \cos(\theta)\)

или, округляя до двух десятичных знаков:

\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} \approx 36,84 \cdot \cos(\theta)\)