Каковы первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если их сумма равна 27, а сумма первых трех членов равна

Давайте решим задачу о геометрической прогрессии суммой первых членов равной 27 и суммой первых трех членов равной \(S_3\).

Для начала, давайте разберем формулу для суммы \(n\) членов геометрической прогрессии:
\[S_n = a \cdot \frac{{1 - r^n}}{{1 - r}},\]
где \(S_n\) обозначает сумму первых \(n\) членов, \(a\) - первый член, \(r\) - знаменатель, и \(n\) - количество членов.

Таким образом, у нас есть два уравнения:
\[S_n = a \cdot \frac{{1 - r^n}}{{1 - r}} = 27,\]
\[S_3 = a \cdot \frac{{1 - r^3}}{{1 - r}}.\]

Теперь давайте рассмотрим сумму первых трех членов геометрической прогрессии, \(S_3\).
По формуле суммы трех членов, мы можем записать:
\[S_3 = a + ar + ar^2.\]
У нас есть информация, что \(S_3\) равно данной в задаче величине.

Теперь объединим два уравнения:
\[S_3 = a \cdot \frac{{1 - r^3}}{{1 - r}} = 27,\]
\[S_3 = a + ar + ar^2.\]

Simplifying the equations further, we have:
\[a \cdot \frac{{1 - r^3}}{{1 - r}} = a + ar + ar^2 = 27.\]
Let"s solve these equations step by step.

Первое уравнение: \(a \cdot \frac{{1 - r^3}}{{1 - r}} = 27\).
Мы можем упростить числитель в левой части уравнения:
\[a \cdot \frac{{(1 - r)(1 + r + r^2)}}{{1 - r}} = 27.\]
Здесь заметим, что \(1 - r\) отсутствует в знаменателе справа. Поскольку знаменатель не равен нулю, мы можем сократить его в левой части уравнения:
\[a \cdot (1 + r + r^2) = 27.\]
Теперь мы можем разделить обе части на \((1 + r + r^2)\), чтобы найти значение \(a\):
\[a = \frac{{27}}{{1 + r + r^2}}.\]

Теперь второе уравнение: \(a + ar + ar^2 = 27\).
Подставим найденное значение \(a\) в это уравнение:
\[\frac{{27}}{{1 + r + r^2}} + \frac{{27r}}{{1 + r + r^2}} + \frac{{27r^2}}{{1 + r + r^2}} = 27.\]
Для удобства мы умножим обе части уравнения на \(1 + r + r^2\), чтобы избавиться от дробей:
\[27 + 27r + 27r^2 = 27(1 + r + r^2).\]
Раскроем скобки в правой части уравнения:
\[27 + 27r + 27r^2 = 27 + 27r + 27r^2.\]
Обратите внимание, что оба выражения справа и слева равны, следовательно, это тождественное уравнение. Это означает, что любые значения \(r\) будут удовлетворять уравнению.

Таким образом, мы можем выбрать любое значение \(r\) (кроме 0 и -1, чтобы избежать деления на ноль в формуле суммы) и получить соответствующее значение \(a\) из первого уравнения \(a = \frac{{27}}{{1 + r + r^2}}\).

Например, если мы выберем \(r = 2\), тогда:
\[a = \frac{{27}}{{1 + 2 + 2^2}} = \frac{{27}}{{7}}.\]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии (\(a\)) равен \(\frac{{27}}{{7}}\), а знаменатель (\(r\)) может быть выбран любым ненулевым числом, кроме 0 и -1, в зависимости от того, какую прогрессию хотите получить.